不定积分的典型例题

1

(1 sin2x)cos2x

11 sin2x ln(sin2x 1) c.

1 sin2x44解上面的联立方程可得出I,J.（略）。 *例14． 计算I

1

. 1 x3

11 x xI dx 33 1 x1 x

1xx dx ,令J .可求出233 1 x x1 x1 x

221

I J 3(x ) c,

3321 x1 x x2 x2

I J dx 33

1 x1 x1x21 ln(x 1) ln(x3 1) c,3

1 x1 x3从而可解出I.(略)

例15． arcsin

分部积分

2x2x

arcsin(x 1) 1 x1 x

（x 1）arcsin

2x1

1 xx

(1 x)arcsin

2x

2x c.1 x

dxx x x 1

2

例16． 求 I 解 令

t2 1t2 t 1

x x 1 x t, x ,dx 2dt,

1 2t(1 2t)2

2

t2 t 1133

I 2 dt 2[ ]dt22 t(1 2t)t2(2t 1)2(2t 1)

3

2lnx x2 x 1 ln2x 1 2x2 x 1

2

3

c.

2

2(2x x 1 2x 1)例17．设f(x)有一个原函数

sinx

,求 xf (x)dx. x