不定积分的典型例题

例3. 求

x

. 4242

(x 1)(x x)

解 令 u x2,再用部分分式，則

x1du

(x4 1)(x4 x2)2 (u2 1)(u2 u)

1ABCu D ,两边乘以u,再

(u2 1)(u2 u)uu 1u2 1

令u 0,得A 1.两边乘以u 1,再令u 1,得

1

B .两边乘以u,再令u ,得

2

11

0 A B C, C .令u 1, D .

22

x1du

4

(x 1)(x4 x2)2 (u2 1)(u2 u)

11 u

111 [ 2]du2u2(u 1)u 11111

lnu lnu ln(u2 1) arctanu c 24841111

lnx2 ln(x2 1) ln(x4 1) arctanx2 c24841x81 ln2 arctanx2 c.24

8(x 1)(x 1)4

x15x81x8 1 187

例4 8 8 xdx 8 222

(x 1)(x 1)8(x 1)

1118

[ ]d(x 1) 882 8x 1(x 1)

11 ln(x8 1) c. 88(x8 1)

1 cosx

dx.

1 cosx sinxx1 cosx

解 令 tan t,则

21 cosx sinx

例5.求