等差数列与等比数列通项求法,求和方法大全

列，即bn b1cn 1,b1 a1 x0.

例25．已知数列{an}满足：an 1 an 2,n N,a1 4,求an.

13

13x 2,则x0 . 32

311

当a1 4时，a1 x0,b1 a1 .

22

11n 1111n 133111n 1

数列{bn}是以 为公比的等比数列.于是bn b1( ) ( ),an bn ( ),n N.

32322233

解：作方程x

2、对于由递推公式an 2 pan 1 qan，a1 ,a2 给出的数列 an ，方程x2 px q 0，叫做数列 an

n 1n 1

的特征方程。若x1,x2是特征方程的两个根，当x1 x2时，数列 an 的通项为an Ax1，其中A，B由 Bx2n 1n 1

（即把a1,a2,x1,x2和n 1,2，代入an Ax1，得到关于A、B的方程组）；当x1 x2a1 ,a2 决定 Bx2n 1

时，数列 an 的通项为an (A Bn)x1，其中A，B由a1 ,a2 决定（即把a1,a2,x1,x2和n 1,2，代入

。 an (A Bn)x1n 1，得到关于A、B的方程组）

例26：已知数列 an 满足a1 a,a2 b,3an 2 5an 1 2an 0(n 0,n N)，求数列 an 的通项公式。 解法一（待定系数——迭加法）

由3an 2 5an 1 2an 0，得an 2 an 1 则数列 an 1 an 是以b a为首项，

2

(an 1 an)， 且 a2 a1 b a。 3

2

为公比的等比数列，于是 3

2

an 1 an (b a)()n 1。把n 1,2,3, ,n代入，得

3

a2 a1 b a，

2

a3 a2 (b a) ()，

32

a4 a3 (b a) ()2，

3

2

an an 1 (b a)()n 2。

3

把以上各式相加，得

21 ()n 1

222an a1 (b a)[1 () ()n 2] (b a)。

2333

1 3