二阶Camassa Holm方程行波解的稳定性及性质

令ｔ＝ｔ０

１１（ｘ，ｔ）＝（ｃｃｏ（ｘ－ｃｔ）＋ｃｓｉｎ（ｘ－φ０１０２

２２

－ｘ－ｃｔ）｜０（ｃｔ））ｅ　　ｃｃ０１２＝０

）当ｃ，ｃ时，不妨设ｃ，１１＝０２≠０２＞０ｄφ

＝ｄｘ

{

１５ｘ－ｃｔ）０ｃｓｉｎ（ｘ－ｃｔ）π）　ｘ－ｃｔ２００≥０２６１１ｘ－ｃｔ）０（ｃｓｉｎ（ｘ－ｃｔ）π）　ｘ－ｃｔ２００＜０２６

图１　ｃ，ｃ时，（ｘ，ｔ）φ１＝０２＞００

Ｆｉｇ．１　Ｆｉｇｕｒｅｏｆ（ｘ，ｔ）ａｔｃ，ｃφ０１＝０２＞０

以上可以得到：

{５３π＋４ｋπ≤ｘ－ｃｔ１

０≤３

π＋４ｋπ，ｘ－ｃｔ０≥０｝∪｛ｘ｜１３３π＋４ｋπ≤ｘ－ｃｔ７０≤３π＋４ｋπ，ｘ－ｃｔ０≤０

}

（ｋ为整数），φ（ｘ，ｔ０

）是递增的．{１３π＋４ｋπ≤ｘ－ｃｔ７

０≤３

π＋４ｋπ，ｘ－ｃｔ０

≥０｝∪｛ｘ｜７３π＋４ｋπ≤ｘ－ｃｔ≤１０３π＋４ｋπ，ｘ－ｃｔ０≤０

}

（ｋ为整数），φ（ｘ，ｔ０）是递减的．则ｃ１＝０，ｃ２＞０，ｘ－ｃｔ０≥０

时，ｘ＝２ｎπ＋ｃｔ０（ｎ为自然数）是φ（ｘ，ｔ０）的零点．ｄｄｘ＝０时，ｘ＝１３

π＋２ｋπ＋ｃｔ０，ｋ＝２ｎ（ｎ为自然数），则ｘ１３π＋４ｎπ＋ｃｔ０为φ（ｘ，ｔ０

）的极大值点；ｋ＝２ｎ＋１（ｎ为自然数）时，ｘ＝１

３

π＋（

４ｎ＋２）π＋ｃｔ０为φ（ｘ，ｔ０

）的极小值点．ｃ１＝０，ｃ２＞０，ｘ－ｃｔ０＜０

时，ｘ＝２ｎπ＋ｃｔ０（ｎ为整数）是φ（ｘ，ｔ０

）的零点．ｄφ

ｄｘ＝０时，ｘ＝１３

π＋２ｋπ＋ｃｔ０，ｋ＝２ｎ（ｎ为整数）时，ｘ＝１３π＋４ｎπ＋ｃｔ０为φ（ｘ，ｔ０

）的极小值点；ｋ＝２ｎ－１（ｎ为整数）时，ｘ＝１３π＋（４ｎ－

２）π＋ｃｔ０为φ（ｘ，ｔ０

）的极大值点．以ｘ，φ（ｘ，ｔ０）建立直角坐标系，ｃ１＝０，ｃ２＞０时，φ（ｘ

，ｔ０

）图像见图１．当ｃ１＝０，ｃ２＞０时，φ（ｘ，ｔ０

）的零点，极值点是相间的，从而得到行波解φ（ｘ，ｔ）的零值，极值是相间的．

２）当ｃ１≠０，ｃ２＝０时，不妨设ｃ１＞０，ｄφ

ｄｘ

＝{

－ｃ１１（ｘ－ｃｔ０）ｓｉｎ２（ｘ－ｃｔ０））１３π）　ｘ－ｃｔ０≥０－ｃ１２ｘ－ｃｔ０）ｓｉｎ１２（ｘ－ｃｔ１０））３

π）　ｘ－ｃｔ０＜０{４３π＋４ｋπ≤ｘ－ｃｔ１０

０≤３π＋４ｋπ，ｘ－ｃｔ０≥０}

∪{４３π＋４ｋπ≤ｘ－ｃｔ２０≤３

π＋４ｋπ，ｘ－ｃｔ０≤０}

（ｋ为整数），φ（ｘ，ｔ０

）是递增的．{２３π＋４ｋπ≤ｘ－ｃｔ０

≤４

３π＋４ｋπ，ｘ－ｃｔ≥０}∪{１００

３π＋４ｋπ≤ｘ－ｃｔ０

≤２

３π＋４ｋπ，ｘ－ｃｔ０

≤０}

（ｋ为整数），φ（ｘ，ｔ０

）是递减的．当ｃ１＞０，ｃ２＝０，且ｘ－ｃｔ０≥０时，φ（ｘ，ｔ０）＝０时，ｘ＝（２ｋ＋１）π＋ｃｔ０

（ｋ为自然数），则ｘ＝（２ｋ＋１）π＋ｃｔ０是φ（ｘ，ｔ０

）的零点．ｄφ

ｄｘ＝０时，ｘ＝２３

π＋２ｋπ＋ｃｔ０，ｋ＝２ｎ（ｎ为自然数），ｘ＝２３π＋４ｎπ＋ｃｔ０为φ（ｘ，ｔ０

）的极大值点；ｋ＝２ｎ＋１（ｎ为自然数），ｘ＝２３π＋（４ｎ＋２）π

＋ｃｔ０为φ（ｘ，ｔ０

）的极小值点．ｃ１＞０，ｃ２＝０，ε＜０时，φ（ｘ，ｔ０

）＝０时，