二阶Camassa Holm方程行波解的稳定性及性质

２

２

ｘｘｘ

ｘｘｘ

ｘｘｘ

文献［６］中研究了ＣＨ方程孤立尖波解的稳定性问

１题，利用它的两个守恒量，证明了孤立尖波在Ｈ

范数意义下是轨道稳定的，受此启发，文中研究了

２

１）的行波解在Ｈ范数意义下的稳定性；并方程（

对行波解在某一个时刻的零点分布研究，得到了行波解的零值分布．

ｗｗｄｘ＋∫ｗφｄｘ＋∫ｗｗｄｘ－φ∫

ｗφｄｘ－∫ｗｗｄｘ－∫ｗｗｄｘ＋φ∫２ｗｄｘ＋２ｗｗφｄｘ＋２ｗｗｗｄｘ－φｗ∫∫∫２ｗｘ－２ｗｗφｄｘ－２ｗｗｗｄｘφｗｄ≤∫∫∫

２

２

ｘｘｘｘ

ｘｘｘｘｘ

ｘｘｘｘｘ

ｘ

ｘｘ

ｘｘｘ

ｘｘｘ

ｘｘｘｘｘ

ｘｘｘｘｘ

ｘｘｘｘｘ

１　行波解的稳定性

［７－１４］２

定理１：若ｖ［０，Ｔ）；Ｈ（Ｒ））是方程∈（

（１）的一个解，如果有‖ｖ（０，·）－φ，‖Ｈ２＜δδ＞１１５

‖φ‖Ｌ‖φ‖Ｌ‖φｘ‖Ｌ∞＋∞∞＋ｘｘｘｘ２２ｘ

２

‖φ‖Ｌ‖φ‖Ｌ‖ｗ‖Ｌ２＋∞＋∞）ｘｘｘｘｘｘｘｘｘ

１

０，则有‖ｖ（ｔ，·）－φ（·－ｃｔ）‖Ｈ２＜ε

．注：在初始时刻接近行波的解，在它的存在时间内，必然与该行波的某个平移充分接近．

ｖ（ｘ，ｔ）是方程（１）的一个解，φ（ｘ，ｔ）是方程（

１）的行波解．记：ｖ－φ＝ｗ，则ｖ＝φ＋ｗ

（３）

将式（３）代入方程（１）可得：

（φ＋ｗ）ｔ－（φ＋ｗ）ｘｘｔ＋（φ＋ｗ）ｘｘｘｘｔ＋３（φ＋ｗ）（φ＋ｗ）ｘ－（φ＋ｗ）（φ＋ｗ）ｘｘｘ＋（φ＋ｗ）（φ＋ｗ）ｘｘｘ－２（φ＋ｗ）ｘ（φ＋ｗ）ｘｘ＋２（φ＋ｗ）ｘ（φ＋ｗ）ｘｘｘｘ＝０（４）因为φ（ｘ，ｔ）是方程（１）的行波解，则

φｔ－φｘｘｔ＋φｘｘｘｘｔ＋３φφｘ－φφｘｘｘ＋φφｘｘｘｘｘ－２φｘφｘｘ＋２φｘφｘｘｘｘ＝０（５）由式（４，５）可得

ｗｔ－ｗｘｘｔ＋ｗｘｘｘｘｔ＋３φｗｘ＋３ｗφｘ＋３ｗｗｘ－φｗｘｘｘ－ｗφｘｘｘ－ｗｗｘｘｘ＋ｗφｘｘｘｘｘ＋φｗｘｘｘｘｘ＋ｗｗｘｘｘｘｘ－２φｘｗｘｘ－２ｗｘφｘｘ－２ｗｘｗｘｘ＋２φｘｗｘｘｘｘ＋２ｗｘφｘｘｘｘ＋２ｗｘｗｘｘｘｘ＝０

（６）用ｗ对式（６）在Ｒ上做内积，得到：ｄｄ

ｔ（‖ｗ‖２２２Ｌ２＋‖ｗｘ‖Ｌ２＋‖ｗｘｘ‖Ｌ２）＝－３∫φｗｗｘｄｘ－３∫ｗ２φ∫

２ｘｄｘ－３ｗｗｘ

ｄｘ＋∫φｗｗｄｘ＋∫ｗ２

φｄｘ＋∫ｗ２

ｘｘｘ

ｘｘｘ

ｗｘｘｘ

ｄｘ－∫ｗ２

φｄｘ－∫φｗｗｄｘ－∫ｗ２

ｘｘｘｘ

ｘｘｘｘｘ

ｗｘｘｘｘｘ

ｄｘ＋２∫φｘ

ｗｗｘｘ

ｄｘ＋２∫ｗｗｘφｘｘ

ｄｘ＋２∫ｗｗｘｗｘｘ

ｄｘ－２∫ｗφｘｗｘｘｘｘ

ｄｘ－２∫ｗｗｘφｘｘｘｘ

ｄｘ－２∫

ｗｗｘｗｘｘｘｘ

ｄｘ（７）

根据Ｈｏｌｄｅｒ不等式、施瓦茨不等式、Ｙｏｕｎｇ不等式对下面的式子进行范数估计，得到：

－３∫φｗｗｘｄｘ－３∫ｗ２φ２

ｘｄｘ－３∫

ｗｗｘ

ｄｘ＋（２‖ｗ‖Ｌ∞＋２‖φ‖Ｌ∞２‖φｘ‖Ｌ

∞＋３‖φｘｘ‖∞＋‖φｘｘｘｘ‖２

ＬＬ∞）‖ｗｘ

‖Ｌ２＋（２‖ｗ‖１

Ｌ∞２‖φ‖Ｌ∞＋４‖φｘ

‖Ｌ∞＋３‖φｘｘ‖Ｌ∞３２

２

‖φｘｘｘ‖Ｌ∞）‖ｗｘｘ

‖Ｌ２（８）由式（７，８）得到：

ｄｄｔ（‖ｗ‖２２２Ｌ２＋‖ｗｘ‖Ｌ２＋‖ｗｘｘ‖Ｌ２）≤１１２

‖φｘ‖＋５Ｌ∞‖φｘｘ‖Ｌ∞２‖φｘｘｘ

‖Ｌ∞＋‖φｘｘｘｘ‖２

Ｌ∞＋‖φｘｘｘｘｘ

‖Ｌ∞）‖ｗ‖Ｌ２＋（２‖ｗ‖Ｌ∞＋２‖φ‖１

Ｌ∞２‖φｘ‖Ｌ

∞＋３‖φｘｘ‖２

Ｌ∞＋‖φｘｘｘｘ‖Ｌ∞）‖ｗｘ

‖Ｌ２＋（２‖ｗ‖１

Ｌ∞２‖φ‖Ｌ∞＋４‖φｘ

‖Ｌ∞＋３‖φ３２

ｘｘ‖Ｌ∞２‖φｘｘｘ‖Ｌ∞）‖ｗｘｘ

‖Ｌ２（９）对‖φ‖Ｌ∞，‖φｘ‖Ｌ∞，‖φｘｘ‖Ｌ∞，‖φｘｘｘ

‖Ｌ∞，‖φｘｘｘｘ‖Ｌ∞，‖φｘｘｘｘｘ

‖Ｌ∞，‖ｗ‖Ｌ∞做范数估计：φ（ｘ，ｔ）＝（ｃ１ｃｏ１１

２（ｘ－ｃｔ）＋ｃ２

ｓｉ２

（ｘ－ｃｔ））ｅ

－ｘ－ｃｔ）｜‖φ‖Ｌ∞＝ｅｓｓｓｕｐ｜φ｜≤｜ｃ１｜＋｜ｃ２｜

φｘ＝

－１

２ｃ１２ｃ２）ｓｉ１２（ｘ－ｃｔ）＋ ｘ－ｃｔ）　ｘ≥ｃｔ （１１

２ｃ１２ｃ２）ｃｏ２

（ｘ－ｃｔ） －１ ２ｃ１２ｃ２）ｓｉ１２（ｘ－ｃｔ）＋ （ｘ－ｃ ２ｔ）　ｘ＜ｃｔ ２ｃ１１２ｃ２）ｃｏ１

２（ｘ－ｃｔ） ‖φｘ‖Ｌ∞＝ｅｓｓｓｕｐ｜φ＋１ｘ｜≤２｜ｃ１｜＋１２

｜ｃ２｜φｘｘ＝