概率论与数理统计(浙江大学_第四版--盛骤)——概率论部分2

概率论的答案

概率论与数理统计 第四版浙江大学 盛骤

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概率论部分2第二章 随机变量及其分布

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第二章 随机变量及其分布关键词： 随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数

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§1*

随机变量

常见的两类试验结果：示数的——降雨量；候车人数；发生交通事故的次数… 示性的——明天天气(晴，多云…);化验结果(阳性，阴性)…

*

中心问题：将试验结果数量化s e xX=f(e)--为S上的单值函数，X为实数

**

定义：随试验结果而变的量X为随机变量离散型的

常见的两类随机变量

连续型的

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§2

离散型随机变量及其分布

定义：取值可数的随机变量为离散量 离散量的概率分布(分布律)X Px1 p1 x2 p2… …

xi pi

… …

pi 0, pi 1i 1

样本空间S={ X=x1,X=x2,…,X=xn,… } 由于样本点两两不相容

1 P( S ) P( X xi ) pii 1 i 1

# 概率分布

1、写出可能取值--即写出了样本点 2、写出相应的概率--即写出了每一个样本点出现的概率5

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例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设 各灯为红灯的概率为p,0<p<1,以X表示首次 停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。

解： 设Ai={第i个灯为红灯},则P(Ai)=p,i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。P( X 0) P( A1 ) p ;

P( X 1) P( A1 A2 ) (1 p) p ;

P( X 2) P( A1 A2 A 3 ) (1 p)2 p ;P( X 3) P( A A2 A 3 ) (1 p)3 ; 1注意：X 0 , X 1 , X 2

X

0 p

1 p(1-p)

2 (1-p) p2

3 (1-p)3

X 3 为S的一个划分

p

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例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品 的次品率为p,0<p<1,若查到一只次品就 得停机检修，设停机时已检测到X只产品， 试写出X的概率分布律。

解：设Ai={第i次抽到正品},i=1,2, 则A1,A2, 相互独立。P( X k ) P( A1 A2 Ak 1 Ak ) (1 p)k 1 p, k 1, 2,

亦称X为服从参数p的几何分布。

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三个主要的离散型随机变量 0-1(p) 分布X p 0 q 1 p

样本空间中只 有两个样本点

(p+q=1)

二项分布* n重贝努利试验：设试验E只有两个可能的结果： A, A p(A)=p,0<p<1,将E独立地重复进行n次，则称这一串重复 的独立试验为n重贝努利试验。 在相同条件下 重复进行

即每次试验结果 互不影响

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例：1. 独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果： 正面，反面， P 出现正面 1 2

2.将一颗骰子抛n次，设A={得到1点},则每次试验只有两个结果：

A, A,

P A 1 6

3.从52张牌中有放回地取n次，设A={取到红牌},则每次只有两个结果：

A,

A,

P A 1 2

如果是不放回抽样呢？9

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设A在n重贝努利试验中发生X次，则 k P( X k ) Cn pk (1 p)n k , 01 ,n k , , 并称X服从参数为p的二项分布，记 X b(n,p)k 注： ( p q) Cn p k q n k 其中q 1 p 1 n k 0 n

推导：设Ai={ 第i次A发生 },先设n=3P( X 0) P( A1 A 2 A3 ) (1 p)31 P( X 1) P( A1 A 2 A3 A1 A 2 A3 A1 A 2 A3 ) C3 p1 (1 p)3 12 P( X 2) P( A1 A 2 A3 A1 A 2 A3 A1 A 2 A3 ) C3 p 2 (1 p)3 2

P( X 3) P( A1 A 2 A3 ) p3k 一般 P( X k ) Cn pk (1 p)n k , k 0,1, 2, , n10

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例： 设有80台同类型设备，各台工作是相互独 立的，发生故障的概率都是0.01,且一台设备 的故障能有一个人处理。 考虑两种配备维修工人的方法， 其一是由4个人维护，每人负责20台； 其二是由3个人共同维护80台。 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时 维修的概率的大小。

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解：按第一种方法。 以X 记“第一人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”。 以Ai i 1, 2,3, 4 表示事件“第i人维护的20台中发生故障不能 及时维修”,则知80台中发生故障不能及时维修的概率为：

而X b 20,0.01 ,故有：1 k 0

P A A2 A3 A4 P A P X 2 1 11

k P X 2 1 P X k 1 C20 k 0

0.01 0.99 k

20 k

0.0169

即有：P A1 A2 A3 A4 0.0169按第二种方法。以Y 记80台中同一时刻发生故障的台数， 此时, Y b 80, 0.01 , 故80台中发生故障而不能及时维修的概率为：k P Y 4 1 C80 0.01 0.99 3 k k 0 80 k

0.0087

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例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为p,0<p<1, 以Y表示一路上遇到红灯的次数。 (1)求Y的概率分布律； (2)求恰好遇到2次红灯的概率。

解：这是三重贝努利试验

Y b(3, p)3 k

1

P(Y k ) C p (1 p)k 3 k

, k 0,1,2,3

2 2 P(Y 2) C3 p2 (1 p) 13

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例：某人独立射击n次，设每次命中率为p, 0<p<1,设命中X次，(1) 求X的概率分布 律；(2) 求至少有一次命中的概率。 解：这是n重贝努利试验 X b(n, p)

1 2

k P( X k ) Cn pk (1 p)n k , 0,1, , n k

P( X 1) 1 P( X 0) 1 …… 此处隐藏：1298字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……