武汉大学自动化专业 《现代控制理论》第三章运动分析

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第三章 线性系统的运动分析1 线性定常系统的运动分析 2 线性时变系统的运动分析 3 线性连续系统的时间离散化 4 线性离散系统的运动分析

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第一节 线性定常系统的运动分析一 零输入响应(自由运动的状态解)

X = AX , X (0) = X 0 , t ≥ 0仿照标量函数 其中

x = ax 的解为 x = eat x0

∞ 1 2 2 1 e at = 1 + at + a t + ... = ∑ a k t k 2! k = 0 k! =0

对A定义矩阵指数函数e At

∞ 1 2 2 1 k k = I + At + A t + ... = ∑ A t 2! k = 0 k!

结论：线性定常系统零输入响应X(t)具有如下形式 X (t)= e At X0 =Φ (t ) X0,t≥0 Φ(t )又称为系统的状态转移矩阵。2

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推论:1)零输入响应的几何表征：X (t )即为状态空间中由初态X0出发和 由各个时刻变换点构成的一条轨迹. 2)零输入响应的运动属性：X (t )属于由偏离系统平衡状态的初态 X 0 引起的自由运动. 3)零输入响应的形态：即自由运动轨迹的形态,仅由矩阵指数e At 唯一确定，表明e At=Φ(t)即系统矩阵A包含了自由运动形态的全部 信息. lime At = 0 4)零输入响应趋向平衡状态X=0的属性：当且仅当 t →∞ 4) X=0 时,自由运动轨迹最终趋向于平衡状态X e =0,这一属性在控制理论 中，称为渐近稳定,上述条件为线性定常系统渐近稳定的充要条件. 5)零输入响应的计算：计算X (t )的核心是计算矩阵指数e At.. 6)零输入响应表达式的一般形式：当t0≠0时X (t ) = e A( t t0 ) X 0 = Φ (t t 0 ) X 0 , t ≥ t 03

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二 矩阵指数- 状态转移矩阵Φ(t)的性质1)Φ(0) = I

2) Φ (t ) = AΦ(t ) = Φ (t ) A Φ(t)与A满足交换律. ,3)Φ(t1+t2) =Φ(t1)Φ(t2). 4) [Φ(t)] -1 =Φ(-t) ,Φ(t)的逆为时间的逆转,系统的状态转移具有 双向性. 5)Φ(t2-t1)Φ(t1-t0) =Φ(t2-t0),状态的多步 (或一步) 转移等效为一 步(或分解成多步) 转移. 6) [Φ (t)] k =Φ (k t ). 7) 若n×n矩阵A和B,满足AB=BA,则

e (a + b) t =e At e Bt

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三 几个特殊的状态转移矩阵 1) 若A为对角线阵λ1 0 0 λ 2 A= ... ... 0 0则

... 0 ... 0 ... ... ... λn

Φ (t ) = e

At

e λ1t 0 = 0 0

0 eλ2 t

0 0

0 0 ... ... λn t ... e ... ...5

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2)若A为一个m×m的约当块

λ1 0 A= 0 0则有

1

...

λ10 0

0 1 0 ... 1 ... λ1 ... ... ... ... 1 m 1 t (m 1)! 1 t m2 (m 2)! ... 1

Φ (t ) = e At

1 2 1 t 2! t t = e λ1t 0 1 ... ... ... 0 0 0

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3)若A为一约当矩阵，

A1 0 A= 0 0

0 A2 0 0

0 ... 0 ... ... ... A j ...

其中，A1,A2Aj 为约当块， 则

Φ (t ) = e At

e A1t 0 = ... 0

0 e A2t ... 0

...

0 0 Φ 1 (t ) 0 Φ 2 (t ) ... 0 = ... ... ... ... A jt 0 ... e 0

... ... ...

... Φ j (t ) 0 0 ...7

Φ1Φ2…Φj 为每一约当块的转移矩阵

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4) 若A 能通过非奇异变换阵P 化为对角阵， 即 P-1AP=Λ,则 e At = P eΛt P 5) 若

δ ω A= ω δ

则

Φ (t ) = e

At

cos ωt sin

ωt δ t = e sin ωt cos ωt 8

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四 状态转移矩阵的求法1)直接法——按定义直接计算

Φ (t ) = e2)拉氏变换法 3)化A为标准型法 A的特征值互异时

At

1 2 2 1 3 3 = I + At + A t + A t ...... 2! 3!adj ( sI A) sI A

Φ (t ) = e At = L1 [( sI A) 1 ] =

Φ (t ) = e At

e λ1t 0 =P ... 0

0 e λ2 t ... 0... ...

0 ... 0 1 P ... ... λn t ... e ...

A有重特征值时Φ (t ) = e At = Pe Λt P 1

0 Φ 1 (t ) 0 Φ 2 (t ) =P ... ... 0 0

0 0 1 P ... ... ... Φ j (t )

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4) 化e At 为A的有限项法 ① Cayley-Hamiltion定理: 设A为n×n方阵,则A满足其自身的特征方程即若f (λ ) = λI A = λn + a n 1λn 1 + ... + a1λ + a 0 = 0

则

f ( A) = A n + a n 1 A n 1 + ... + a1 A + a 0 = 0

可见An可由An-1、An-2…A、I 线性组合来表示. ② 化e At 为 A 的有限项 对e At 的无穷项中的An,An+1,An+2…均可An-1,An-2…A,I 线性组合来 表示，则 e At = α (t ) I + α (t ) A + α (t ) A 2 + ... + α A n 10 1 2 n 1

③A的特征值互异时

α 0 (t ) 1 λ1 α (t ) 1 = 1 λ2 ... ... ... α n 1 (t ) 1 λn

λ1 ... λ 2 2 ...2

...

...

λ n 2 ...

λ1 n 1 λ2 ... n 1 λn

n 1

1

e λ1t λ2 t e ,,, λn t e

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④A有重特征值时，设λ1有r 重特征值，其它均为值， 则 α 0 (t ) 0 ... α (t ) 0 ... 1 ... ... ... α r (t ) = 1 λ1 α r +1 (t ) 1 λ r +1 ... ... ... α n 1 (t ) 1 λ n ... ... ... ... 0 ... ... 1 ... 1 (n 1)λ1 ... n 1 λ1 λ r +1 n 1 ... λ n n 1 1

λ1 2 ... λ1 n 2 λr +1 2 ... λ r +1 n 2... ... ... ...

λn 2

λn n2

1 t m 1e λ1t (n 1)! 1 t m 2 e λ1t (n 2)! ... …… 此处隐藏：4013字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……