高中数学排列组合 二项式定理1

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1.3.1《二项式定理》

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学习目标1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2初步了解用赋值法是解决二项式系数问题； 3能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问 题和解决问题的能力 重点难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用

二 自学指导 什么是二项式定理？它有了些性质？ 什么是二项式定理？它有了些性质？ 三学生自学 请同学们用8’ 按要求阅读课文P29~31。 请同学们用 按要求阅读课文 。

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检查自学效果

我们知道( 我们知道(a+b)1=a+b , (a+b)2 = a2 +2ab+b2 , (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3, 由这些式子试猜想 由这些式子试猜想(a+b)4展开 后的结果，它们的各项是什么呢？ 后的结果，它们的各项是什么呢？ (a+b)5 ,. . . 呢？这里 有规律吗? 有规律吗

分析

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:(每一项怎么来的 对(a+b)3展开式进行分析:(每一项怎么来的) + ) 展开式进行分析:(每一项怎么来的)因为(a+b)3= (a+b) (a+b) (a+b) 因为展开时，每个括号中要么取 要么取 要么取b,而且只能取一个 展开时，每个括号中要么取a,要么取 而且只能取一个 来相乘得项，所以展开后其项的形式有： 来相乘得项，所以展开后其项的形式有：a3 ,a2b,ab2, b3 最后结果要合并同类项.所以项的系数为就是该项在展 最后结果要合并同类项 所以项的系数为就是该项在展 开式中出现的次数.可计算如下 可计算如下: 开式中出现的次数 可计算如下 因为每个都不取b的情况有 种 即 所以a 因为每个都不取 的情况有1种,即C30 ,所以 3的系数为 30; 的情况有 所以 的系数为C 因为恰有1个取 的情况有C 个取b的情况有 所以a 的系数为 的系数为C 因为恰有 个取 的情况有 31种，所以 2b的系数为 31; 因为恰有2个取 的情况有 所以ab 的系数为C 因为恰有 个取b的情况有 32 种，所以 2的系数为 32; 个取 的情况有C 因为恰有3个取 的情况有C 个取b的情况有 的系数为C 因为恰有 个取 的情况有 33 种，所以 b3的系数为 33; 故(a+b)3 = C30 a3 +C31 a2b + C32ab2 + C33b3

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:(每一项怎么来的 对(a+b)4展开式进行分析:(每一项怎么来的) + ) 展开式进行分析:(每一项怎么来的)因为(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)=? 因为 =? 展开时，每个括号中要么取a,要么取 要么取b,而且只能取一个来 展开时，每个括号中要么取 要么取 而且只能取一个来 相乘得项,所以展开后其项的形式有 所以展开后其项的形式有:a 相乘得项 所以展开后其项的形式有 4 ,a3b,a2b2, ab3,b4 最后结果要合并同类项.所以 所以项的系数为就是该项在展 最后结果要合并同类项 所以项的系数为就是该项在展 开式中出现的次数.可计算如下 可计算如下: 开式中出现的次数 可计算如下 因为每个都

不取b的情况有 的情况有1种 即 所以a 因为每个都不取 的情况有 种,即C40 ,所以 4的系数为 40; 所以 的系数为C 因为恰有1个取 的情况有C 个取b的情况有 所以a b的系数为 的系数为C 因为恰有1个取b的情况有C41 种，所以a3b的系数为C41; 因为恰有2个取 的情况有C 个取b的情况有 的系数为C 因为恰有 个取 的情况有 42 种，所以 a2b2的系数为 42; 因为恰有3个取 的情况有 的系数为C 因为恰有 个取b的情况有 43 种，所以 ab3的系数为 43; 个取 的情况有C 因为恰有4个取 的情况有C 个取b的情况有 所以b 的系数为C 因为恰有 个取 的情况有 44种，所以 4的系数为 44 (a+b)4 = C40 a4 +C41 a3b + C42 a2b2 + C43 ab3 + C44 b4

一般地猜想,另外注意到这个分析具有一般性. 一般地猜想,另外注意到这个分析具有一般性.一般地

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分析( + ) 的展开式:(每一项怎么来的) :(每一项怎么来的 分析(a+b)n的展开式:(每一项怎么来的)因为(a+b)n= ? 因为 展开时，每个括号中要么取a,要么取 要么取b,而且只能取一个来 展开时，每个括号中要么取 要么取 而且只能取一个来 相乘得项,所以展开后其项的形式有 所以展开后其项的形式有:a 相乘得项 所以展开后其项的形式有 n ,an-1b,an-2b2, …,bn 最后结果要合并同类项.所以 所以项的系数为就是该项在展 最后结果要合并同类项 所以项的系数为就是该项在展 开式中出现的次数.可计算如下 可计算如下: 开式中出现的次数 可计算如下 因为每个都不取b的情况有 种 即 所以a 因为每个都不取 的情况有1种,即Cn0 ,所以 n的系数为 n0; 的情况有 所以 的系数为C 因为恰有1个取 的情况有C 个取b的情况有 所以a b的系数为 的系数为C 因为恰有1个取b的情况有Cn1 种，所以an-1b的系数为Cn1; 因为恰有2个取 的情况有C 个取b的情况有 的系数为C 因为恰有 个取 的情况有 n2 种，所以 an-2b2的系数为 n2; … … … … … 因为恰有n个取 的情况有C 个取b的情况有 所以b 的系数为C 因为恰有 个取 的情况有 nn种，所以 4的系数为 nn0 n 1 n 2 2 r n ( ) ∴a+b n =Ca +Ca 1b+Can 2b +L Ca rb +L Cb + nn r + nn n n n 公式就 这个公式就是二 项式定理

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二项展开式定理

0 n 1 n 2 n 2 r n (a+b n =Ca +Ca 1b+Ca 2b +L Ca rb +L Cb ) + nn r + nn n n n

一般地，对于 N*, 一般地，对于n∈ ,有：

右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 右边的多项式叫做 叫做二项展开式的通项 记作T 通项， 其中 Cnr an-rbr 叫做二项展开式的通项，记作 r+1 Cnr 叫做 二项式系数 二项式系数.

二项展开式的特点: 二项展开式的特点 项数： ①项数：共n+ …… 此处隐藏：3470字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……