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1.3.1《二项式定理》

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学习目标1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2初步了解用赋值法是解决二项式系数问题； 3能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问 题和解决问题的能力 重点难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用

二 自学指导 什么是二项式定理？它有了些性质？ 什么是二项式定理？它有了些性质？ 三学生自学 请同学们用8’ 按要求阅读课文P29~31。 请同学们用 按要求阅读课文 。

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检查自学效果

我们知道( 我们知道(a+b)1=a+b , (a+b)2 = a2 +2ab+b2 , (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3, 由这些式子试猜想 由这些式子试猜想(a+b)4展开 后的结果，它们的各项是什么呢？ 后的结果，它们的各项是什么呢？ (a+b)5 ,. . . 呢？这里 有规律吗? 有规律吗

分析

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:(每一项怎么来的 对(a+b)3展开式进行分析:(每一项怎么来的) + ) 展开式进行分析:(每一项怎么来的)因为(a+b)3= (a+b) (a+b) (a+b) 因为展开时，每个括号中要么取 要么取 要么取b,而且只能取一个 展开时，每个括号中要么取a,要么取 而且只能取一个 来相乘得项，所以展开后其项的形式有： 来相乘得项，所以展开后其项的形式有：a3 ,a2b,ab2, b3 最后结果要合并同类项.所以项的系数为就是该项在展 最后结果要合并同类项 所以项的系数为就是该项在展 开式中出现的次数.可计算如下 可计算如下: 开式中出现的次数 可计算如下 因为每个都不取b的情况有 种 即 所以a 因为每个都不取 的情况有1种,即C30 ,所以 3的系数为 30; 的情况有 所以 的系数为C 因为恰有1个取 的情况有C 个取b的情况有 所以a 的系数为 的系数为C 因为恰有 个取 的情况有 31种，所以 2b的系数为 31; 因为恰有2个取 的情况有 所以ab 的系数为C 因为恰有 个取b的情况有 32 种，所以 2的系数为 32; 个取 的情况有C 因为恰有3个取 的情况有C 个取b的情况有 的系数为C 因为恰有 个取 的情况有 33 种，所以 b3的系数为 33; 故(a+b)3 = C30 a3 +C31 a2b + C32ab2 + C33b3

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:(每一项怎么来的 对(a+b)4展开式进行分析:(每一项怎么来的) + ) 展开式进行分析:(每一项怎么来的)因为(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)=? 因为 =? 展开时，每个括号中要么取a,要么取 要么取b,而且只能取一个来 展开时，每个括号中要么取 要么取 而且只能取一个来 相乘得项,所以展开后其项的形式有 所以展开后其项的形式有:a 相乘得项 所以展开后其项的形式有 4 ,a3b,a2b2, ab3,b4 最后结果要合并同类项.所以 所以项的系数为就是该项在展 最后结果要合并同类项 所以项的系数为就是该项在展 开式中出现的次数.可计算如下 可计算如下: 开式中出现的次数 可计算如下 因为每个都

不取b的情况有 的情况有1种 即 所以a 因为每个都不取 的情况有 种,即C40 ,所以 4的系数为 40; 所以 的系数为C 因为恰有1个取 的情况有C 个取b的情况有 所以a b的系数为 的系数为C 因为恰有1个取b的情况有C41 种，所以a3b的系数为C41; 因为恰有2个取 的情况有C 个取b的情况有 的系数为C 因为恰有 个取 的情况有 42 种，所以 a2b2的系数为 42; 因为恰有3个取 的情况有 的系数为C 因为恰有 个取b的情况有 43 种，所以 ab3的系数为 43; 个取 的情况有C 因为恰有4个取 的情况有C 个取b的情况有 所以b 的系数为C 因为恰有 个取 的情况有 44种，所以 4的系数为 44 (a+b)4 = C40 a4 +C41 a3b + C42 a2b2 + C43 ab3 + C44 b4

一般地猜想,另外注意到这个分析具有一般性. 一般地猜想,另外注意到这个分析具有一般性.一般地

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分析( + ) 的展开式:(每一项怎么来的) :(每一项怎么来的 分析(a+b)n的展开式:(每一项怎么来的)因为(a+b)n= ? 因为 展开时，每个括号中要么取a,要么取 要么取b,而且只能取一个来 展开时，每个括号中要么取 要么取 而且只能取一个来 相乘得项,所以展开后其项的形式有 所以展开后其项的形式有:a 相乘得项 所以展开后其项的形式有 n ,an-1b,an-2b2, …,bn 最后结果要合并同类项.所以 所以项的系数为就是该项在展 最后结果要合并同类项 所以项的系数为就是该项在展 开式中出现的次数.可计算如下 可计算如下: 开式中出现的次数 可计算如下 因为每个都不取b的情况有 种 即 所以a 因为每个都不取 的情况有1种,即Cn0 ,所以 n的系数为 n0; 的情况有 所以 的系数为C 因为恰有1个取 的情况有C 个取b的情况有 所以a b的系数为 的系数为C 因为恰有1个取b的情况有Cn1 种，所以an-1b的系数为Cn1; 因为恰有2个取 的情况有C 个取b的情况有 的系数为C 因为恰有 个取 的情况有 n2 种，所以 an-2b2的系数为 n2; … … … … … 因为恰有n个取 的情况有C 个取b的情况有 所以b 的系数为C 因为恰有 个取 的情况有 nn种，所以 4的系数为 nn0 n 1 n 2 2 r n ( ) ∴a+b n =Ca +Ca 1b+Can 2b +L Ca rb +L Cb + nn r + nn n n n 公式就 这个公式就是二 项式定理

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二项展开式定理

0 n 1 n 2 n 2 r n (a+b n =Ca +Ca 1b+Ca 2b +L Ca rb +L Cb ) + nn r + nn n n n

一般地，对于 N*, 一般地，对于n∈ ,有：

右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 右边的多项式叫做 叫做二项展开式的通项 记作T 通项， 其中 Cnr an-rbr 叫做二项展开式的通项，记作 r+1 Cnr 叫做 二项式系数 二项式系数.

二项展开式的特点: 二项展开式的特点 项数： ①项数：共n+1项 + 项 指数： 按降幂排列 按降幂排列， 按升幂排列 按升幂排列， ②指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每

一项中 a、b的指数和为 的指数和为n 、 的指数和为 r 系数:第 + 项的二项式系数为 ③系数 第r+1项的二项式系数为 C n (r=0,1,2,…, = , n) )特殊地 直接运用

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对定理的再认识： 对定理的再认识： 特殊地: 特殊地 1.把b用-b代替 把 用 代替 r 1 n= C0 an-C an-1b+ … +(-1)rC an-rbr (a-b) n n n +… 2.令a=1,b=x 令 ， 则 (1+x)3.nCn bn +(-1) n n n Cnx

n=1+C 1x+…+C r r+…+ … nx … nn

C +C0 n

1 n

+ L + C n = (1 + 1)

n

=2

n

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点拨提高：(1 + 2 x ) = C (2 x ) + C (2 x ) + C (2 x )5 0 5 0 1 5 1 2 5

( ) 开 (+2 ) 1展 ： 1 x3 5 3

52

(1 2 x ) = C ( 2 x ) + C (-2 x ) + C ( 2 x )5 0 5 3 5 0

+ C (2 x ) + C (2 x ) + C (2 x ) 2 3 4 5 = 1 + 10 x + 40 x + 80 x + 80 x + 32 x 5 (2若 开 1 2 ) 呢 ) 展 ( x ?4 5 4 5 5 5

+ C ( 2 x ) + C ( 2 x ) + C ( 2 x )3 4 5 52 3 4 5

1 5 4 5

1

2 5

2

5

= 1 10 x + 40 x 80 x + 80 x 32 x 5 2 3 4 5 (+2 ) =1+1 x+4 x +8 x +8 x +3 x 1 x 0 0 0 0 2

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思考练习: 思考练习: 练习 2 2007 0 除所得余数是______. 1. 1 + 3 + 3 + L + 3 被 4 除所得余数是______. 6 2.求 的近似值. 2.求 (1.05) 精确到 0.01 的近似值. 1.34 3.将 展开后, 3. 将 ( x + y + z )10 展开后 , 则展开式 x 5 y 3 z 2 的项的 系数为( 系数为( ) B 2 5 3 5 3 2 (A) C10C10C10 (B) C10C 5 C 22 3 (C) C 5 C10 5 2 (D) C10C 4

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当堂训练 当堂训练1 2 27 1.求证： 除以9 1.求证： = C 27 + C 27 + L + C 27 除以9的余 求证 S

数为 7; 2.求多项式： 2.求多项式： 求多项式

( x 1) ( x 1) + ( x 1) ( x 1) + ( x 1)2 3 4

5

的系数. 的展开式中 x 2 的系数.

- 2015120

3.( +2 +3c) 的展开式中a +2b+3 项的系数是多少？ 3.(a+2 +3 )7的展开式中 2b3c2项的系数是多少？

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作业 P36 A 1、 4、

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二项式定理(习题课) 二项式定理(习题课)

上节课，我们认识了二项式定理： 上节课，我们认识了二项式定理：1.二项式定理： 1.二项式定理： 二项式定理

(a + b) = C a + C a b +L+ C a b +L+ C b +1)项 +1) 2.通项规律 T 通项规律： 2.通项规律： r +1 = C a b ,(r = 0,1, 2,L n)第(r+1)项n 0 n n n n n

1 n 1 n r n r r n

r n r r n

3.二项式系数： n 3.二项式系数： 二项式系数 C 注:项的系数与二项式系数是两个不同的概念 n 1 2 2 r r n n 4.特殊地 ( ) 特殊地： 4.特殊地：1+ x =1+Cnx +Cn x +L Cn x +L Cn x + + 令以x=1得 令以 =1得 C =10 n

r

+ C + C + L + C = (1 + 1) = 2n1 n 2 n n n n

运用二项式定理可以在头脑里迅速地展开一些式 从而能解决些问题.这节课我们来做一些练习. 子,从而能解决些问题.这节课我们来做一些练习.

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二项式定理( 二项式定理(四)─二项式系数性质运用通过观察杨辉三角形(二项式系数表) 通过观察 杨辉三角形(二项式系数表)可以发现二 杨辉三角形 m n m 项式系数的许多

性质: (1)对称性: 项式系数的许多性质: (1)对称性: Cn = Cn 对称性 m m m 1 (2)递推性 递推性: (2)递推性:Cn+1 = Cn + Cn(3)增减性与最大值. (3)增减性与最大值. 增减性与最大值 逐渐增大,随后又逐渐减小. 逐渐增大,随后又逐渐减小.

是偶数时, 当 n 是偶数时, C 最大奇数时 当 n 是奇数时, Cn 1 2 n

n 2 n

=Cn

n+1 2 n

最大

⑴C + C + C + L + C + L + C = 21 10 n

(4)一连串数系数的和. (4)一连串数系数的和. 一连串数系数的和1 21 n

⑵C + C + C + L+ C + L+ C = C 等等1 3 1 k 1 n 2 n+1

2 n

r n

n n

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热身训练： 热身训练： 0 1 n 等于( 1. C n + 2C n + 4C n 2 + L + 2 n C n 等于( A

)

2n 3n 1 n n (A) 3 (B) 2 3 (C) 1 (D) 3 2 1 2 n 等于( 2. C n + 3C n + 9C n 3 + L + 3n 1 C n 等于( ) D(A) 4 n (B) 3 4 n7

280 3.求 3.求 (1 + 2x) 的展开式的第 4 项的系数是______、

4n (C) 1 3

4n 1 (D) 3

35 二项式系数是____.4.已知(1- ) 4.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则 已知(1 + + a1+a2+…+a7的值是 - 2 + .

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赋值法再思考: 赋值法再思考: 你会求下面(2)、(3)、(4)小问的答案吗? (2)、(3)、(4)小问的答案吗 小问的答案吗?

能力训练 1:

已知 (1 2x)

= a0 + a1 x + a2 x +L+ a7 x 求:(1) a1 + a2 + L + a7 ; - 27 2

7

(2)

a1 + a3 + a5 + a7; 1094+ a 2 + a4 + a6

(3) a0 (4)| a

0

| + | a1 | + L + | a7 | 2187挑战竞赛

37 1 = 1093 ; 2