【人教A版】高中数学必修二：4.2.1《直线与圆的位置关系(2)》ppt课件

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直线与圆的位置关系(二)

1、点与圆有哪些位置关系 2、点到直线的距离公式，两点间的距离公式， 及其中蕴含的数学思想方法 3、直线方程的几种形式及适用条件和圆的标准方程、一般方程 .

问题1:初中学过的平面几何中， 直线与圆的位置关系有几类？

问题2:在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？

d

d r

d r

r

直线与圆相交，有两个公共点，组成的方程组 Ax By C 0 2 2 2 ( x a ) ( y b ) r

应该有两个解。

直线与圆相切，有一个公共点，组成的方程组 Ax By C 0 2 2 2 ( x a ) ( y b ) r

应该有一个解。

直线与圆相离，没有公共点，组成的方程组 Ax By C 0 2 2 2 ( x a ) ( y b ) r

应该没有解。

一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零), 和圆 ( x a)2 ( y b)2 r 2 ,则圆心 (a, b) 到此直线的距离为

d

Aa Bb C A2 B 2,

d r d r

,

d r

位置

相离

相切

相交

d 与r

d>r

d=r

d<r

图形

交点个数

例1 如图，已知直线l :3x + y – 6 = 0和圆心为C的 圆x2 + y2 –2y – 4 = 0,判断直线l 与圆的位置关系； 如果相交，求它们交点的坐标.

解法一：由直线l 与圆的方程，得 3x y 6 0 2 2 x y 2y 4 0

消去y,得x2 – 3x + 2 = 0, 因为△= (–3)2 – 4×1×2 = 1>0 所以，直线l与圆相交，有两个公共点.

解法二：圆x2 + y2 –2y – 4 = 0可化为x2 + (y – 1)2 =5, 其圆心C的坐标为(0,1),半径长为 5 点C (0,1)到直线l 的距离 d=| 3 0 1 6 | 32 12

< 10

5

5

所以，直线l 与圆相交，有两个公共点..

由x2 –3x + 2 = 0,解得x1 =2,x2 = 1. 把x1=2代入方程①,得y1= 0; 把x2=1代入方程①,得y2= 0; 所以，直线l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是 A (2,0),B (1,3).

例2 已知过点M (–3,–3)的直线l 被圆x2 + y2 + 4y –21 = 0 所截得的弦长为4 5 ,求直线l 的方程.

解：将圆的方程写成标准形式，得 x2 + (y2 + 2)2 =25, 所以，圆心的坐标是(0,–2),半径长r =5. ,所以弦心距为 如图，因为直线l 的距离为4 552 ( 4 5 2 ) 5 2

,

即圆心到所求直线l的距离为.

5

因为直线l 过点M (–3,–3),所以可设所求直线l的方程为 y + 3 = k (x + 3), 即k x – y + 3k –3 = 0. 根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离| 2 3k 3 | k 12.

d=

因此，

| 2 3k 3 | k 12

5

,

即|3k – 1| =

5 5k 2

两边平方，并整理得到2k2 –3k –2 = 0, 1 解得k = 2 ,或k =2. 所以，所求直线l 有两条，它们的方程分别为 y + 3 = 1 (x + 3),或y + 3 = 2(x + 3).2

即x +2y = 0,或2x – y + 3 = 0.