《热力学与统计物理》考试大纲

第一章热力学的基本定律

基本概念：平衡态、热力学参量、热平衡定律

温度，三个实验系数（α，β， T）转换关系，物态方程、功及其计算，热力学第一定律（数学表述式）热容量（C，CV，Cp的概念及定义），理想气体的内能，焦耳定律，绝热过程及特性，热力学第二定律（文字表述、数学表述），可逆过程克劳修斯不等式，热力学基本微分方程表述式，理想气体的熵、熵增加原理及应用。 综合计算：利用实验系数的任意二个求物态方程，熵增（ΔS）的计算。 第二章均匀物质的热力学性质 基本概念：焓（H），自由能F，吉布斯函数G的定义，全微公式，麦克斯韦关系（四个）及应用、能态公式、焓态公式，节流过程的物理性质，焦汤系数定义及热容量（Cp）的关系，绝热膨胀过程及性质，特性函数F、G，空窖辐射场的物态方程，内能、熵，吉布函数的性质。

综合运用：重要热力学关系式的证明，由特性函数F、G求其它热力学函数（如S、U、物态方程）

第三章、第四章单元及多元系的相变理论 该两章主要是掌握物理基本概念： 热动平衡判据（S、F、G判据），单元复相系的平衡条件，多元复相系的平衡条件，多元系的热力学函数及热力学方程，一级相变的特点，吉布斯相律，单相化学反应的化学平衡条件，热力学第三定律标准表述，绝对熵的概念。

统计物理部分

第六章近独立粒子的最概然分布

基本概念：能级的简并度， 空间，运动状态，代表点，三维自由粒子的 空间，

德布罗意关系（ ＝ ，P k），相格，量子态数。

等概率原理，对应于某种分布的玻尔兹曼系统、玻色系统、费米系统的微观态数的

l

a ell计算公式，最概然分布，玻尔兹曼分布律（）配分函数

N

al le lZ1 lel e s

Z1ls（），用配分函数表示的玻尔兹曼分布（），

fs，Pl，Ps的概念，经典配分函数（

综合运用：

能计算在体积V内，在动量范围P→P+dP内，或能量范围ε→ε+dε内，粒子的量子态数；了解运用最可几方法推导三种分布。 第七章玻尔兹曼统计

基本概念：熟悉U、广义力、物态方程、熵S的统计公式，乘子α、β的意义，玻尔兹曼关系（S＝KlnΩ），最可几率Vm，平均速度，方均根速度Vs，能量均分定理。

综合运用：

能运用玻尔兹曼经典分布计算理想气体的配分函数内能、物态方程和熵；能运用玻

1

尔兹曼分布计算谐振子系统（已知能量ε＝（n+2） ）的配分函数内能和热容量。

Z1

1 l

er duh0

）麦态斯韦速度分布律。

第八章玻色统计和费米统计 基本概念：

fs

1

KT

e 1）光子气体的玻色分布，分布在能量为εs的量子态s的平均光子数（，

T＝0k时，自由电子的费米分布性质（fs=1），费米能量 (0)，费米动量PF，T＝0k时电子的平均能量，维恩位移定律。 综合运用：掌握普朗克公式的推导；T＝0k时，电子气体的费米能量 (0)计算，T=0k时，电子的平均速率的计算，电子的平均能量的计算。 第九章系综理论 基本概念：

空间的概念，微正则分布的经典表达式、量子表达式，正则分布的表达式，正则配分函数的表达式。 经典正则配分函数。 不作综合运用要求。 四、考试题型与分值分配

1、题型采用判断题、单选题、填空题、名词解释、证明题及计算题等六种形式。

2、判断题、单选题占24％，名词解释及填空题占24％，证明题占10％，计算题占42％。

《热力学与统计物理》复习资料

一、单选题

1、彼此处于热平衡的两个物体必存在一个共同的物理量，这个物理量就是（） ①态函数②内能③温度④熵

2、热力学第一定律的数学表达式可写为（）

①UB UA Q ②UA UB Q

③UB UA Q ④UA UB Q

V1T 1）

T，则气体经3、在气体的节流过程中，焦汤系数 =CP，若体账系数

节流过程后将（）

①温度升高②温度下降③温度不变④压强降低 4、空窖辐射的能量密度u与温度T的关系是（）

①u aT②u aVT③u aVT④u aT 5、熵增加原理只适用于（）

①闭合系统②孤立系统③均匀系统④开放系统

6、在等温等容的条件下，系统中发生的不可逆过程，包括趋向平衡的过程，总是朝着（）

①G减少的方向进行②F减少的方向进行 ③G增加的方向进行④F增加的方向进行 7、从微观的角度看，气体的内能是（） ①气体中分子无规运动能量的总和

②气体中分子动能和分子间相互作用势能的总和 ③气体中分子内部运动的能量总和

④气体中分子无规运动能量总和的统计平均值

8、若三元Ф相系的自由度为2，则由吉布斯相律可知，该系统的相数Ф是（）

3

3

4

4

①3 ②2 ③1 ④0 9、根据热力学第二定律可以证明，对任意循环过程L，均有

①

TTTT

10、理想气体的某过程服从PVr＝常数，此过程必定是（） ①等温过程②等压过程③绝热过程④多方过程 11、卡诺循环过程是由（）

①两个等温过程和两个绝热过程组成

②两个等压过程和两个绝热过程组成 ③两个等容过程和两个绝热过程组成 ④两个等温过程和两个绝热过程组成 12、下列过程中为可逆过程的是（）

①准静态过程②气体绝热自由膨胀过程③无摩擦的准静态过程④热传导过程 13、理想气体在节流过程前后将（）

①压强不变②压强降低③温度不变④温度降低 14、气体在经准静态绝热过程后将（）

①保持温度不变②保持压强不变③保持焓不变④保持熵不变 15、熵判据是基本的平衡判据，它只适用于（） ①孤立系统②闭合系统③绝热系统④均匀系统

16、描述N个三维自由粒子的力学运动状态的μ空间是( ) ①6维空间②3维空间③6N维空间④3N维空间

17、服从玻尔兹曼分布的系统的一个粒子处于能量为εl的概率是（）

L

L

L

L

0

②

0

③

＝0

④

＝ S

①

18、T＝0k时电子的动量PF称为费米动量，它是T＝0K时电子的（） ①平均动量②最大动量③最小动量④总动量

19、光子气体处于平衡态时，分布在能量为εs的量子态s的平均光子数为（）

11

11 s sKTKT

1②e 1③e 1④e 1 ①e

20、由N个单原子分子构成的理想气体，系统的一个微观状态在 空间占据的相体积是（）

①h②h③h④h

21、服从玻耳兹曼分布的系统的一个粒子处于能量为εs的量子态S的概率是（）

1

Ps e s s

P eN①②s

3N

6N

3

6

Pl＝

11 l

Pl＝le lPl＝1e lPl＝e le

Z1Z1Z1N②③④

1 s

e s

P eNs③④

22、在T＝0K时，由于泡利不相容原理限制，金属中自由电子从能量ε＝0状态起依次填充之 (0)为止， (0)称为费米能量，它是0K时电子的（） ①最小能量②最大能量③平均能量④内能

23、平衡态下，温度为T时，分布在能量为εs的量子态s的平均电子数是（）

11

fs ufs

Ps ①

eKT 1②eKT 1

fs

1

uKT

fs

1

u

e 1④eKT 1 ③

24、描述N个自由度为1的一维线性谐振子运动状态的μ空间是（） ①1维空间②2维空间③N维空间④2N维空间

25、玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布的条件（非简并性条件）是（）

①e 1②e 1③e 1④e 1

26、由N个自由度为1的一维线性谐振子构成的系统，谐振子的一个运动状态在μ空间占据的相体积是（）

2N2N

①h ②h③h④h

27、由N个自由度为1的一维线性谐振子构成的系统，其系统的一个微观状态在 空间占据的相体积是（）

2N2N

①h ②h③h④h

28、由两个粒子构成的费米系统，单粒子状态数为3个，则系统的微观状态数为（）

①3个②6个③9个④12个

29、由两个玻色子构成的系统，粒子的个体量子态有3个，则玻色系统的微观状态数为（）

①3个②6个③9个④12个

30、微正则分布的量子表达式可写为（）

1 s

① s e② s e③ s ④

二、判断题 1、无摩擦的准静态过程有一个重要的性质，即外界在准静态过程中对系统的作用力，可以用描写系统平衡状态的参量表达出来。（）

CP

1

2、在P-V图上，绝热线比等温线陡些，是因为r=CV。（）

3、理想气体放热并对外作功而压强增加的过程是不可能的。（）

4、功变热的过程是不可逆过程，这说明热要全部变为功是不可能的。（） 5、绝热过程方程对准静态过程和非准表态过程都适用。（）

6、在等温等容过程中，若系统只有体积变化功，则系统的自由能永不增加。（） 7、多元复相系的总焓等于各相的焓之和。（）

8、当孤立系统达到平衡态时，其熵必定达到极大值。（）

9、固相、液相、气相之间发生一级相变时，有相变潜热产生，有比容突变。 10、膜平衡时，两相的压强必定相等。（）

11、粒子和波动二象性的一个重要结果是微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标。（）

12、构成玻耳兹曼系统的粒子是可分辨的全同近独立粒子。（） 13、具有完全相同属性的同类粒子是近独立粒子。（）

14、玻色系统的粒子是不可分辨的，且每一个体量子态最多能容纳一个粒子。（） 15、定域系统的粒子可以分辨，且遵从玻耳兹曼分布。（） 16、热量是热现象中特有的宏观量，它没有相应的微观量。（） 17、玻尔兹曼关系S=KlnΩ只适用于平衡态。（）

18、T=0k时，金属中电子气体将产生巨大的简并压，它是泡利不相容原理及电子气的高密度所致。（） 三、填空题

1、孤立系统的熵增加原理可用公式表示为（）。

2、一孤立的单元两相系，若用指标α、β表示两相，则系统平衡时，其相变平衡条件可表示为（）。

3、吉布斯相律可表示为f=k+z-Ф，则对于二元系来说，最多有（）相平衡。 4、热力学系统由初始状态过渡到平衡态所需的时间称为（）。

5、热力学第二定律告诉我们，自然界中与现象有关的实际过程都是（

）。

6、热力学第二定律的普遍数学表达式为（）。

dPL

7、克拉珀珑方程dTT v中，L的意义表示1mol物质在温度不变时由 相转变到 相时所吸收的（）。

8、在一般情况下，整个多元复相系不存在总的焓，仅当各相的（）相同时，总的焓才有意义。

9、如果某一热力学系统与外界有物质和能量的交换，则该系统称为（）。 10、热力学基本微分方程dU=( )。

11、单元系开系的热力学微分方程dU=( )。 12、单相化学反应的化学平衡条件可表示为（）。 13、在s、v不变的情形下，平衡态的（）最小。

14、在T、V不变的情形下，可以利用（）作为平衡判据。 15、设气体的物态方程为PV=RT，则它的体胀系数 ＝（）。 16、当T→0时，物质的体胀系数 （）。 17、当T→0时，物质的CV（）。 18、单元系相图中的曲线称为（），其中汽化曲线的终点称为（）。

19、能量均分定理告诉我们，对处在温度为T的平衡态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值都等于（）。

20、平衡态下，光子气体的化学势μ为零，这是与系统中的光子数（）相联系的。 21、平衡态统计物理的一个基本假设是（）。

22、空窖内的辐射场可看作光子气体，则光子气体的能量ε和圆频率ω遵循的德布罗意关系为（）。

23、若系统由N个独立线性谐振子构成，则系统配分函数Z与粒子配分函数Z1的关系为（）。

24、用正则分布求热力学量实质上相当于选取（）作为特性函数。

25、由N个单原子分子构成的理想气体，粒子配分函数Z1与系统正则配分数Z的关系为（）。

3

N (0)

26、T＝0k时，电子气体的总能量U＝5，式中N为电子数， (0)为费米能，则一个电子的平均能量为（）。

2N

(0) (3 2)2mV27、已知T＝0k时，自由电子气体的化学势，则电子的费米功

量P（0）＝（）。

28、等概率原理的量子表达式为（）。

29、用微正则分布求热力学量实质上相当于选取（）作为特性函数。

30、由麦克斯韦速度分布律可知，如果把分子速率分为相等的间隔，则（）速率所在的间隔分子数最多。 四、名词解释

1、热力学平衡态 2、驰豫时间 3、广延量 4、强度量 5、准静态过程 6、可逆过程 7、绝热过程 8、节流过程 9、特性函数 10、熵增加原理 11、等概率原理 12、μ空间

13、态密度 14、粒子全同性原理 15、最概然速率 16、能量均分定理

17、玻耳兹曼分布 18、玻色分布 19、费米分布 20、 空间 五、证明题

1、证明热力学关系式

1 T P [P T ]

V UCV T V

C S

P(式中 为体胀系数)2、 V PTV

TP T

为压力系数） CV

3、证明热力学关系式 V S

T

为体胀系数） T T为压缩系数，

P V4、证明热力学关系式

U V T P T V S 5、证明热力学关系式

R2aRT P P 3

(V b)2，式中R，a，b6、对某种气体测量得到 T VV 6， V TV

为常数，试证该气体的物态，方程为范德瓦斯方程。

C P

P

7、证明热力学关系 V SCV P V T。

T V T

PC T S P，并说明其物理意义。 P 8、证明

P Tds CVdT T dV

T V9、证明 T T P

P T V U U U V V 10、证明

六、计算题：

11

KT

T，等温压缩系数P，试求该气体的物态方程。1、已知某气体的体胀系数

1

avT4

2、已知某热力学系统的特性函数F＝3，式中 为常数。试求该系统的熵s和物态方程。

R1 ,

PVT，试求该气体3、实验测得1mol气体的体胀系数和压强系数分别为

的物态方程。

4、一体积为2V的容器，被密闭的隔为等大的两部分A和B，开始时，A中装有单原子理想气体，其温度为T，而B为真空。若突然抽掉隔板，让气体迅速膨胀充满

整个容器，求系统的熵变。

5、对某固体进行测量，共体胀系数及等温压缩系数分别为式中a,b为常数，试求该固体的物态方程。

nR1a , T

PVPV，6、实验测得某气体的体胀系数和等温压缩系数分别为式中n，

R，a均为常数。试求该气体的物态方程。

7、已知某表面系统的特性函数F＝ A，式中 为表面张力系数，且 ＝ (T)，A为表面积。试用特性函数法求该系统的熵。

RTaP 2

v bv，试求气体从体积v1等8、已知1mol范德瓦耳斯气体的物态方程为

温膨胀到v2时的熵变Δs。

9、有两个体积相同的容器，分别装有1mol同种理想气体，令其进行热接触。若气体的初温分别为300k和400k，在接触时保持各自的体积不变，且已知摩尔热容量CV=R，试求最后的温度和总熵的变化。

1

U bVT4,PV U

3，其中b为常数。设10、已知某系统的内能和物态方程分别为

0K时的熵S0=0，试求系统的熵。

11、设压强不太高时，1mol真实气体的物态方程可表示为PV=RT(1+BP)，其中R为常数，B为温度的函数，求气体的体胀系数α和等温压缩系数 T。

2aT bPbT

, T VV，

Ra V V

2 Tf(P)

12、对某气体测量得到如下结果： T PPT P T，式中α,R为

常数，f(P)只是P的函数。试求（1）f(P)的表达式。（2）气体的物态方程。

13、已知水的比热为4.18J/g.c，有1kg 0℃的水与100℃的恒温热源接触，当水温达到100℃时，水的熵改变了多少？热源的熵改变了多少？水与热源的总熵改变了多少？

14、设高温热源T1与低温热源T2与外界绝热。若热量Q从高温热源T1传到低温热源T2，试求其熵度。并判断过程的可递性。

15、1mol范德瓦斯气体从V1等温膨胀至V2，试求气体内能的改变ΔU。

16、已知理想气体的摩尔自由能f=(CV－S0)T－CVTlnT－RTlnV+f0,试求该气体的摩尔熵。

17、试由玻耳兹曼分布求单原子理想气体的物态方程和内能。（积分公式：

e ax2

a）

18、试求T＝0k时，金属中自由电子气体的费米能量μ（0）。

19、若固体中原子的热运动可看作是3N个独立的线性谐振子的振动，振子的能量

1

＝（n ）hv,n 0,1,2,

2。试用玻耳兹曼分布求振子的配分函数Z1和固体的内

能U。

lnZ1

u N

。 20、试由玻耳兹曼分布推导热力学系统内能U的统计表达式

21、由N个经典线性谐振子组成的系统，其振子的能量b为常数，试求振子的振动配函数Z1（积分式

2

＝ap2 bq2

）

1212

，式中a，

e xdx c，22、空窖辐射看作由光子气体构成。已知光子气体的动量与能量的关系为

式中 为圆频率，c为光速。试求在体积V的空窖内，在 到 +d 的圆频率范围内，光子的量子态数为多少？ 23、设空窖辐射场光子气体的能量 ＝cp ，试求温度为T，体积为V的空窖内，

p

圆频率在 到 d 范围内的平均光子数。

p2

＝

2m，试求在体积V内，能量24、对于金属中的自由电子气体，已知电子的能量

在 到 d 范围内电子的量子态数。

2PQ12

＝(P 2)

2Isin ，试求双原25、设双原子分子的转动惯量为I，转动动能表达式

子分子的转动配分函数。

26、假充电子在二维平面上运动，密度为n，试求T=0K时二维电子气体的费米能量μ（0）。

27、气柱的高度为H，截面积为S，处于重力场中，并设气柱分子能量

1 ＝(Px2 Py2 Pz2) mgz

2m，试由玻耳兹曼分布求气柱分子的配分函数Z1和内能

a） U（积分公式：

28、服从玻耳兹曼分布的某理想气体，粒子的能量与动量关系为 ＝cp，式中c为光速。气体占据的体积设为V，试求粒子的配分函数。

29、试求温度为T，体积为V的空窖内，圆频率在 到 d 范围内的平均光子数

及辐射场内能按频率分布的规律。

e ax2dx

p2

＝

2m，试求在体积V内，T=0K时系30、对于金属中自由电子气体，电子的能量

统的总电子数。

部分参考答案

一、单选题

17、② 19、② 21、① 23、④ 28、① 29、② 二、证明题

1、利用T、V、U构成的链式关系 T V U V P

＝T P 1

T V V U U T T V及能态公式 U T即可证明。

U S

＝T P

V T10、选取U=U(T，V)以 V T代入下式

S T T U T

[T ＝ P]

V U V V U T V U T =－

S P

V T V代入即得 T且

六、计算题

144 F F

S － ＝aVT3P ＝aT

T T3 T V32、

dPdV

p V 将α、β代入再改写为 3、选取T＝T（P，V）可求微分得

RRTRTdV dT 2dPV

PP P凑成全微分后积分可得

dV12

dT TdPap C

V2T6、选取V=V(T,P)微分得以α，代入积分：PV=nRT-

12ap

确定C=0 ∴PV=nRT-2

dT

V2 P V2 P CV

S＝ dT dV dV

TTV1V

T V8、＝1 T V以范氏气体方程代入求偏导数再积

T

S＝Rln

分即得

v2 bv1 b

dS＝

dU PdV

T然后积分可得

10、由题中已知条件代入热力学基本微分方程

4

S＝bT3V

3

Ra R 2 dT Tf(P)dPf(P) 2

P 12、（1）选取V=V(T，P)得dV= PT 由全微分条件可得

dTTdP adTR －2 2

P T积分并由物理边界条件确定积分 (2)将f(P)代入dV式dV= P常数

RTa

PT ∴V=

P U CVdT [P T ]dV

T V15、以范氏气体方程代入

11 adV

U a V V V1V2 1

f '

S CVlnT RlnV S0

T V16、

V1

(Px2 Py2 Pz2)1

Z1 3 e2m

h17、配分函数dxdydzdpxdpydpz

2 m Z1 V h2

20、

U N Pl l al l N

l

l

l

l

z1

l. l

N

( le l)Z1 l

lnZ1N Z1

N

＝Z1

1 (2ap2 2bq2)2 12 k

Z edqdp T

hhab hab 21、

0

KT23、光的在体积V的空窖内，在动量P至P+dP范围内光子的量子态数

v

1

1

1

为

4 VP2dP

h32（考虑自旋）

将 cP 代入得体积V内，在圆频率 d 范围内光子的量子态数

1

f Vs2

d

eKT 1代入得体积V的空窖内， 2C3以圆频率在 d 范围内的

V 2d 23 Ce 1 平均光子数为

8 Vp2dpp24 V

D(P)d p 以 代入得D（ ）d 3(2m) 2d 3

2mhh24、

25、见教材P275

x,Py至Py dPy范围内电子的量子态数 26、动量在Px至Px dPSdPxdPy

D（Px,Py）dPxdPy 2

h2（1）

(Px,Py)

dPxdPy 2 PdP

(P, )（2） 2

又P 2m （3）

4 s

D( )d 2md

h∴（4）

1

1 (0)

fs

0 (0) T＝0K时，

(0)4 sm4 sm

N fsD( )d d (0)220hh∴

h2nN (0) (式中n )

4 mS ∴

27

、

1Z1 3

hU N

dxdy

H

dz e

1

(Px2 Py2 Pz2)2mKT

KTs

dPxdPydPz 3(2 mKT)(1 eKT)

mgh

mgH

lnZ1NmgH

U0 NKT mgH

2

eKT 1

1VZ1 3 e c pdxdydzdpxdpydpz 3

hh28、

e c p4 p2dp

4 V

h3

p2e c pdp

8 V18 K3V3

33T333

hc hc＝

8 V2P2dPD(P)d p

h330、 P2

代入

2m

1 1 (0)4 V2

D( )d 32m d fs

0 (0) h

3

(0)8 V2mN fsD( )d (2) (0)2

03h∴

《热力学与统计物理》二00四年七月全真试题（仅供参考）

一、判断题（下列各题，你认为正确的，请在题干的括号内打“√”，错的打“×”。每题2分，共20分）

1、在等温等压条件下，若系统只有体积变化功，则系统的吉布期函数永不增加。（）

2、气体的节流过程是等焓过程。（）

3、系统的体积是强度量，系统的压强是广延量。（） 4、根据吉布斯相律，二元四相系的自由度f＝4。（）

5、单元复相系达到平衡时，各相的温度、压强和化学势必须分别相等。（） 6、所有工作于两个一定温度之间的可逆热机，其效率不相等。（） 7、两条绝热线不能相交。（）

8、对于处在平衡态的孤立系统，微观状态数最多的分布出现的概率最大。（） 9、具有完全相同属性的同类粒子是近独立粒子。（）

10、顺磁性固体是由定域、近独立的磁性离子组成的系统，遵从玻耳兹曼分布。（）

二、填空题（每题2分，共20分）

1、如果某一热力学系统与外界有物质和能量的交换，则该系统称为（）。 2、热力学第二定律的开尔文表述是：（）。 3、热力学基本方程du=（）。

S ＝

4、对热力学系统而言，麦氏关系 P T（）。

dpL

＝ dTT(v v)中L表示（）5、克拉珀龙方程。

6、系统的熵S与微观状态数Ω之间的玻耳兹曼关系式是（）。

7、玻色（费米）分布可以过渡到玻耳兹曼分布的经典极限（非简并条件）为（）。 8、根据麦克斯韦速度分布律，理想气体的方均根速率Vs=( )。 9、对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值等于（）。

10、设有两个全同的玻色子，占据三个不同的个体量子态，则该系统最多有（）个不同的微观状态。

三、名词解释题（每题5分，共20分） 1、熵增加原理 2、不可逆过程

3、等概率原理 4、玻色分布

四、计算题（每题10分，共40分） 1、某一热力学系统的体胀系数的物态方程。

＝

11KT＝

p，求此热力学系统T，等温压缩系数

2、理想气体初态温度为T，体积为VA，经绝热自由膨胀过程体积膨胀为VB，

求气体的熵变。

3、求由N个原子构成的爱因斯坦固体的内能。（可能用到的公式：1+x+x2+…

1

+xn=1 x，(x 1)）

4、某种样品中的电子服从费米分布，其态密度有如下特征：ε<0时，D（ε）＝0；ε≥0时，D（ε）＝D0，电子总数为N，试求T＝0k时的化学势µ0，总能量U0。