例7 如图3－109．等边△ABC内接于△XYZ，A在YZ上，B在ZX上，C在XY上，证明：

证 对四边形ABXC运用托勒密定理，得

AX·BC≤BX·AC+XC·AB，

所以

AX≤BX+XC．

同样地

BY≤CY+YA，CZ≤AZ+ZB．

将上述三式相加就得所要证明的不等式．

等号成立的充分必要条件是X，Y，Z在△ABC的外接圆上，但∠ZBX，∠XCY，∠YAZ都等于π，因此等号成立只能是X，Y，Z分别与C，A，B重合的情况．

平面几何中的著名定理，除了上述所介绍的梅内劳斯定理、塞瓦定理、斯台沃特定理、托勒密定理外，还有斯泰纳-莱默斯定理、西姆松定理、蝴蝶定理、莫莱定理等等．这里，限于篇幅，因此不作讨论．

练习十九

1．已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D．求证：D，E，F共线．

2．过△ABC的三个顶点A，B，C分别作△ABC的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB的延长线交于D，E，F．求证：D，E，F三点共线．

3．在△ABC的边BC上任取一点D，设∠ADB和∠ADC的角平分线分别交AB，AC于F和E．求证：AD，BE，CF相交于同一点．

4．在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥BD，DC=3，BC=7，DA=8，求AB，BD和AC的长．

PA(PA+PC)=PB(PB+PD)．

6．设P是等边三角形ABC所在平面上的任意一点，那么根据P

落

PC+PA=PB或PC+PA＞PB．