初中数学第二轮专题复习

几何

1、如图，D，E分别为 ABC

的边AB，AC上的点，且不与 ABC的顶点重合．已

知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2 14x mn 0的两个根．

(Ⅰ)证明：C，B，D，E四点共圆；

(Ⅱ)若∠A=90°，且m=4, n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．

解：(Ⅰ)连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，即

ADAC

AEAB

．

又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB，所以C, B, D, E四点共圆．

(Ⅱ)m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12． 故AD=2，AB=12．

取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB 的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．

因为C, B, D, E四点共圆，所以C, B, D, E四点所在圆的圆 心为H，半径为DH．

由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=故C，B，D，E四点所在圆的半径为5

2、在等腰 ABC中，顶角∠ACB=80°，过A, B引两直线在 ABC内交于一点

12

(12-2)=5．

O．若∠OAB=10°, ∠OBA=20°，求∠ACO的大小，并证明你的结论．

解： ACO 60 （4分）

以OA为轴翻转 OAB到 OAB ，连接CB ,BB ，由 OAB 10 知 BAB 20 且AB AB ， ABB 为等腰三角形，故 AB B 80 ACB，从而知

,C四点共圆，再由 ABO 20 知A,B,B

OBB 60 ， BB O为等边三角形．由四点共圆知

ACB 100 ，又 OBC B BC 30 ，

OB B B，BC公共，故 OBC B BC．

再由 ACB 100 ， ACB 80 ，故 OCB 20 ，从而得证： ACO 60 ．

答题要点： ACO 60

以OA为轴翻转 OAB到 OAB ，连接CB ,BB ① OBB 为正三角形；

②A,B,B ,C四点共圆：因为 ACB AB B 80

B CB B AB 20 ；

③ OBC B BC， B CB OCB 20 ，再由 ACB 80 ，得证： ACO 60 ．

3、如图，在△ABC中，∠A＝60 ，AB＞AC，点O是外心，两条高BE、CF交

于H点．点M、N分别在线段BH、HF上，且满足BM＝CN．

求MH

NHOH

的值．

解：在BE上取BK=CH，连接OB、OC、OK，

由三角形外心的性质知 ∠BOC=2∠A=120° 由三角形垂心的性质知 ∠BHC=180°-∠A=120° ∴∠BOC=∠BHC ∴B、C、HO四点共圆 ∴∠OBH=∠OCH OB=OC BK=CH ∴⊿BOK≌⊿COH ∵BOK=∠BOC=120°，∠OKH=∠OHK=30° 观察⊿OKH，

KHsin120

OHsin30

KH=3OH

MH NH

OH

又∵BM=CN，BK=CH， ∴KM=NH ∴MH+NH=MH+KM=KH=3OH ∴CD的中点．

求证：(Ⅰ)E, F, G, H四点共圆；

(Ⅱ)∠AEF=∠ACB ∠ACD．

证明：(Ⅰ)连结EG, EH, FG, FH, GH，

则FG//BA, FH//BC，所以∠GFH=∠ABC． 又因为四边形DGEH为平行四边形， 所以，∠GEH=∠ADC=∠ABC=∠GFH． 所以，E, F, G, H四点共圆． (Ⅱ)因为E, F, G, H四点共圆，

所以∠GEF=∠GHF=∠ACB．

又EG//CD，所以∠AEG=∠ACD．

故∠AEF=∠GEF ∠AEG＝∠ACB ∠ACD．

平面几何中的几个著名定理

几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理．平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，

以至巧妙

=3．

4、如图，在凸四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC，E, F, G, H分别为AB, BD, AD,