罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与(6)

时间:2025-04-03

ax1tanxex ln(1 x) 1sinx

x; (15)lim (); (16)lim(13)lim(1 ); (14)lim;

x x 0x 0 x 0xxx-arctanx1x1n22x

(ln);lim(1 sinx);(17) (18)lim (19)lim(x x); (20)lim (ntan)。

x 0x x 0 n xn

知识点:洛必达法则。

思路:注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题,基本形式为:

1

x

1

00

型与

型未定

式,对于这种形式可连续使用洛必达法则;对于 型与0 型的未定式,可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式;对于0型、1型与 型的未定式,可通过取对数等手段化为未定式;此外,还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。

ex e xex e x

lim 2; 解: (1) lim

x 0x 0sinxcosx

(2) lim

sinx sinacosx

lim cosa;

x ax ax a1

cosx

lnsinxsinx limcosx lim sinx 1;

(3)lim lim2ππππ88x (π 2x)x 4(2x π)x 4(2x π)x

2

2

2

2

11 ln(1 )

1 x2x(x 1) lim lim 1; (4)lim

x arccotxx x x(x 1)1

1 x2

7sec27x

lntan7x7cos22x tan2xtan7x lim lim 1; (5)lim

x 0lntan2xx 02sec22xx 0tan7x 2cos27x

tan2x

x3 1 lnx

(6)lim lim

x 1x 1ex e

3x2

1

4;

eex

tanx xsec2x 12tanxsec2x2

lim lim lim 2; (7) lim

x 0x sinxx 01 cosxx 0x 0cos3xsinx

(8)limxcot

x 0

2x lim

x11

lim ;

x 0tan2xx 02sec22x2

1

1

1

(9) limx

x 0

2

ex

2

2x2

1 e3ex2

lim lim limex ; x 01x 0x 02

3

x2x

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