罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与(4)

时间:2025-04-03

使得

f (ξ)

f (ξ2) f (ξ1)

0。

ξ2 ξ1

★★★15.设

f(x)在[a,b]上可微,且f (a) 0,f (b) 0,f(a)

f(b )

/

试证明f(x)在A,

(a,b)内至少有两个零点。

知识点:极限的保号性、介值定理、微分中值定理。

思路:要证明在某个区间(a,b)内导函数至少存在两个零点,只要证该函数在[a,b]上有三个零点,即可

以利用罗尔中值定理,得出结论。

证明:∵f (a) lim

f(x) f(a)

0,由极限的保号性知,

x ax a

b-af(x) f(a)

0, ),对于 x (a,δ1),均有 (a,δ1)(不妨设δ1

2x a

特别地, x1 (a,δ1),使得

f(x1) f(a)

0,∴得f(x1) f(a) A;

x1 a

b-a2

),使得

同理,由

f (b) 0,得 x2 (b,δ2)(δ2

f(x2) f(b)

0,

x2 b

从而得又∵∵

f(x2) f(b) A;

f(x)在[x1,x2]上连续,∴由介值定理知,至少有一点ξ (x1,x2)使得f(ξ) A;

f(x)在[a,ξ]、[ξ,b]上连续,在(a,ξ)、(ξ,b)内可导,且f(a) f(ξ) f(b) A,

∴由罗尔中值定理知,至少有一点ξ1 (a,ξ)、ξ2

★★★16.设

(ξ,b),使得f (ξ1) f (ξ2) 0,结论成立。

f(x)在闭区间[a,b]上满足f (x) 0,试证明存在唯一的c,a c b,使得

f (c)

f(b) f(a)

b a

知识点:微分中值定理或函数单调性的应用。

思路:证明唯一性的题目或考虑利用反证法;或正面论述。此题用反证法和罗尔中值定理,或利用函数的

单调性得出结论。

证明:存在性。

f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,∴由拉格朗日中值定理知,至少有一点c (a,b),使得

f(b) f(a)

b a

f(b) f(a)

b a

f (c)

唯一性的证明如下:

方法一:利用反证法。假设另外存在一点d (a,b),使得f (d)

罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与(4).doc 将本文的Word文档下载到电脑

精彩图片

热门精选

大家正在看

× 游客快捷下载通道(下载后可以自由复制和排版)

限时特价:7 元/份 原价:20元

支付方式:

开通VIP包月会员 特价:29元/月

注:下载文档有可能“只有目录或者内容不全”等情况,请下载之前注意辨别,如果您已付费且无法下载或内容有问题,请联系我们协助你处理。
微信:fanwen365 QQ:370150219