f (4)f (4)f (4)f(4)(ξ)23

f(x) f(4) (x 4) (x 4) (x 4) (x 4)4

1!2!3!4!

111

2 (x 4) (x 4)2 (x 4)3

464512

1 x x2f(x)

1 x x2

5128ξ

72

（ξ(x 4)4，介于x与4之间）。

★★★3.把

在x

0点展开到含x4项，并求f(3)(0)。

知识点：麦克劳林公式。

思路：间接展开法。f(x)为有理分式时通常利用已知的结论

1

1 x x2 xn o(xn)。 1 x

解：

1 x x21 x x2 2x2x1f(x) 1 1 2x(1 x)

1 x x21 x x21 x x21 x3

1 2x(1 x)(1 x3 o(x3)) 1 2x 2x2 2x4 o(x4)；

又由泰勒公式知x前的系数

★★4.求函数

3

f (0)

0，从而f (0) 0。 3!

f(x) lnx按(x 2)的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式。

知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，f(x)为对数函数时，通常利用已知的结论

n 1

x2x3nx ( 1) o(xn 1)。 ln(1 x) x 23n 1

方法一：（直接展开）f (x)

f (x)

2x3

，

1111，f (2) ；f (x) 2，f (2) ； x2x41(n 1)!(n)n 1(n 1)!f (2) ； ,f(n)(x) ( 1)n 1f(2) ( 1)，； nn4x2

将以上结果代入泰勒公式，得

f (2)f (2)f (2)f(4)(2)23

lnx f(2) (x 2) (x 2) (x 2) (x 2)4

1!2!3!4!111f(n)(2)

(x 2)3 (x 2)n o((x 2)n) ln2 (x 2) 3(x 2)2 3

223 2n!

( 1)n 1

1

(x 2)n o((x 2)n)。 n

n 2

x 2x 21x 22

) ln2 () 2222

1x 2nx 2n11() o(()) ln2 (x 2) 3(x 2)2 n2222

方法二：f(x) lnx ln(2 x 2) ln2 ln(1

1x 23

() ( 1)n 132