BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．

16 132

[依题意得AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，由AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos ∠BAD ＝－32|AD →|＝－32，得|AD →|＝1，因此λ＝|AD →||BC →|

＝16.取MN 的中点E ，连接DE (图略)，则DM →＋DN →＝2DE →，DM →·DN →＝14[(DM →＋DN →)2－(DM →－DN →)2]＝DE →2－14NM →2＝DE →2－

1

4.注意到线段MN 在线段BC 上运动时，DE 的最小值等于点D 到直线BC 的距

离，即AB ·sin ∠B ＝332，因此DE →2－14的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫3322－14＝132

，即DM →·DN →的最小值为132.]

命题点3 复数

掌握复数代数形式的运算的方法

(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类项，不含i 的看作另一类项，分别合并同类项即可；

(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i 的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．

1．(2020·全国卷Ⅲ)若z (1＋i)＝1－i ，则z ＝( )

A ．1－i

B ．1＋i

C ．－i

D ．i

D [ ∵z －(1＋i)＝1－i ，∴z －＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )

＝－i ，∴z ＝i ，故选D ．] 2．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )

A ．(x ＋1)2＋y 2＝1

B ．(x －1)2＋y 2＝1

C ．x 2＋(y －1)2＝1

D ．x 2＋(y ＋1)2＝1

C [法一：∵z 在复平面内对应的点为(x ，y )，∴z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．∵|z －i|＝1，∴|x ＋(y －1)i|＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C ．

法二：∵|z －i|＝1表示复数z 在复平面内对应的点(x ，y )到点(0,1)的距离为1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C ．