4．[多选]已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(t,1)，若a ＋b 与3a －2b 共线，则下列结论正确的是( )

A ．t ＝12

B ．|b |＝52

C ．a·b ＝－52

D ．a ∥b

BCD [由已知可得a ＋b ＝(1，－2)＋(t,1)＝(t ＋1，－1)，3a －2b ＝3(1，－

2)－2(t,1)＝(3－2t ，－8)，因为a ＋b 与3a －2b 共线，所以－8×(t ＋1)＋1×(3－

2t )＝0，得到t ＝－12，则|b |＝14＋1＝52，a·b ＝－12－2＝－52，

a ＝－2

b ，即a ∥b ，故选BCD ．]

5．已知G 是△ABC 的重心，过点G 的直线与边AB ，AC 分别相交于点P ，Q .若AP →＝λAB →，则当△ABC 与△APQ 的面积之比为20∶9时，实数λ的值为________．

34或35 [设AQ →＝μAC →，则由AP →＝λAB →，S △ABC S △APQ ＝209

， 可得12AB ·AC sin A 12AP ·

AQ sin A ＝AB ·AC λAB ·μAC ＝209，

所以λμ＝920. ①

又G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13(AB →＋AC →)＝13⎝ ⎛⎭

⎪⎫1λAP →＋1μAQ →＝13λAP →＋13μAQ →，结合P ，G ，Q 三点共线，得13λ＋13μ＝1. ②

联立①②消去μ，得20λ2－27λ＋9＝0，解得λ＝34或35.]

6．[一题两空](2020·烟台模拟)如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝60°，

E ，

F 分别是BC ，CD 的中点，若线段EF 上有一点M 满足AM →＝mAB →＋23AD →(m ∈R )，

则m ＝________，AM →·BD →＝________.

56 －13

[法一：设EM →＝λBD →，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，所以AM →＝AB →＋BE →＋EM →＝AB →＋12AD →＋λBD →＝AB →＋12AD →＋λ(AD →－AB →)＝(1－

λ)AB →＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＋λAD →.又AM →＝mAB →＋23AD →，所以1－λ＝m ，12＋λ＝23，所以λ＝16，m ＝56，所以AM →＝56AB →＋23AD →，所以AM →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56AB →＋23AD →·(AD →－AB →)＝23AD →2－56AB →2＋