平面向量与复数 记牢向量共线问题的4个结论

(1)若a 与b 不共线且λa ＝μ b ，则λ＝μ＝0；

(2)直线的向量式参数方程：A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )OA →＋tOB →(O 为

平面内任一点，t ∈R )；

(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1；

(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2

. 1．[教材改编]已知AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，若向量AB →＝(2,4)，

AC →＝(1,3)，则AD →＝( )

A ．(2,4)

B ．(3,7)

C ．(1,1)

D ．(－1，－1)

D [因为AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，所以BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，即AD →＝BC →＝(－1，－1)，故选D ．]

2．在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB →＝4EC →，则ED →＝( )

A ．56A

B →－43A

C → B ．43AB →－56AC →

C ．56AB →＋43AC →

D ．43AB →＋56AC →

A [因为D 为A

B 的中点，点E 满足EB →＝4E

C →，所以B

D →＝12BA →，EB →＝43CB →，

所以ED →＝EB →＋BD →＝43CB →＋12BA →＝43(CA →＋AB →)－12AB →＝56AB →－43AC →.故选A ．]

3．[多选]设a ，b 是不共线的两个平面向量，已知PQ →＝a ＋sin α·b ，其中

α∈(0,2π)，QR →＝2a －b .若P ，Q ，R 三点共线，则角α的值可以为( ) A ．π6 B ．5π6 C ．7π6 D ．11π6

CD [因为a ，b 是不共线的两个平面向量，所以2a －b ≠0，即QR →≠0.因为

P ，Q ，R 三点共线，所以PQ →与QR →共线，所以存在实数λ，使PQ →＝λQR →，所以a

＋sin α·b ＝2λa －λb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝2λ，sin α＝－λ，

解得sin α＝－12.又α∈(0,2π)，故α可为7π6或11π6.故选CD ．]