本的解三角形问题

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点

余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； ●教学难点

勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

C

如图1．1-4，在 ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和 C，求边

A c B

(图1．1-4)

Ⅱ.讲授新课 [探索研究]

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A

如图1．1-5，设CB a，CA b，AB c，那么c a b，则 c

c c a ba b

ab b 2a b C a B 2a 2

a 2a b

2

从而 c2 a2 b2 2abcosC (图1．1-5)

同理可证 a2 b2 c2 2bccosA

b2 a2 c2 2accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2 b2 c2 2bccosA

b2 a2 c2 2accosB

c2 a2 b2 2abcosC

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

b2 c2 a2

cosA

a2 c2 b2

cosB

b2 a2 c2

cosC