∴csinA asinC，即

ac

bc

同理，过点C作j BC，可得

从而

sinAsinBsinC

类似可推出，当 ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a

b

c

a

sinA

b

sinB

c

sinC

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a ksinA，b ksinB，c ksinC； （2）

a

sinAsinBsinC

从而知正弦定理的基本作用为：

b

c

等价于

a

sinA

b

sinB

，

c

sinC

b

sinB

，

a

sinA

c

sinC

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a

bsinA

； sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinA sinB。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析]

例1．在 ABC中，已知A 32.00，B 81.80，a 42.9cm，解三角形。

解：根据三角形内角和定理，

ab

C 1800 (A B)

1800 (32.00 81.80)

66.20；

根据正弦定理，

asinB42.9sin81.80b 80.1(cm)；

sin32.00

根据正弦定理，

asinC42.9sin66.20c 74.1(cm).

sin32.00

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2．在 ABC中，已知a 20cm，b 28cm，A 40，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。 解：根据正弦定理，

bsinA28sin400

sinB 0.8999.

0000

因为0＜B＜180，所以B 64，或B 116.

⑴ 当B 64时，

C 1800 (A B) 1800 (400 640) 760，