- 1 - 宁大附中2017-2018学年第一学期第三次月考

高三数学（理）试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1、已知全集{}

*9,N U x x x =≤∈集合{}1,2,3A =,{}3,4,5,6B =,则()U A B =U ð

A ．{}3

B ．{}7,8

C ．{}7,8,9

D ．{}1,2,3,4,5,6

2、 已知i 是虚数单位，若(1)13z i i +=+，则=z

A ．2i +

B ．2i -

C ．1i -+

D ．1i --

3、如果函数2()f x x bx c =++对任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么

A ．(2)(1)(4)f f f <<

B ．(1)(2)(4)f f f <<

C ．(2)(4)(1)f f f <<

D ．(4)(2)(1)f f f <<

4、如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =,若点P 为CD 的中点， 且AP k AB mAE =+uu u r uu u r uu u r ,则k m +=

A ．3

B ．25

C ．2

D ．1 5、已知数列{}n a 满足331log 1log n n a a ++=(*n N ∈)且2469a a a ++=，则

15793

log ()a a a ++的值是

A ．5-

B ．1

5- C ．5 D ．15

6、数列{}n a 的通项公式为249n a n =-，当该数列的前n 项和n S 达到最小时，n 等于

A ．24

B ．25

C ．26

D ．27

7、

已知函数()sin())(0,||)2f x x x πωφωφωφ=++><

，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π

=，则

A ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递增函数

- 2 - B ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递减函数

C ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,

)2π上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2

π

上为单调递减函数 8、在等比数列{}n a 中，12a =，公比2q =．若1234()m a a a a a m N *=∈，则m =

A ．11

B ．10

C ．9

D ．8

9、已知点O 是边长为1的等边ABC △的中心，则()()OA OB OA OC +⋅+uu r uur uu r uuu r

等于

A ．19

B ．19- C

．-D ．16

- 10

()= 其中,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ A ．sin cos θθ- B ．cos sin θθ-

C ．(sin cos )θθ±-

D ．sin cos θθ+ 11、下图所示为函数()y f x =，()y g x =的导函数的图像，那么()y f x =，()y g x =的图

像可能是

12、若二次不等式230x ax +->在区间[2,5]上有解，则a 的取值范围是

A ．225a >-

B ．12a <-

C ．225a ≥-

D ．12a ≤- 二、填空题

13、函数2y x =与函数2y x =的图象围成的封闭图形的面积为

14、设函数23y ax bx =++在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂

直于直线210x y ++=，则a b +的值为__________．

15、已知数列{}n a 满足：111n n

a a +=-，12a =，记数列{}n a 的前n 项之积为n P ，则 2011P =______.

16、已知函数()x f x e ax =-有且仅有2个零点，则a 的取值范围是_________。

三、解答题

- 3 - 17、（本小题满分10分）

在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =

，c =3cos 4C =。 （1）求sin A 的值；

（2）求ABC ∆的面积。

18、（本小题满分12分）

已知数列{}n a 满足12a =-，124n n a a +=+．

（1）证明数列{}4n a +是等比数列；

（2）求数列{}

n a 的前n 项和n S ．

19、（本小题满分12分） 已知向量(sin ,cos )m A A =u r

，1)n =-r ，1m n ⋅=u r r ，且A 为锐角．

（1）求角A 的大小；

（2）求函数()cos24cos sin f x x A x =+(x ∈R )的值域．

20、(本小题满分12分）

求不等式2

(1)10(0)ax a x a -++<>的解集.

21、（本小题满分12分）

（1） 在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)G L N ，点),(y x P 在GLN ∆三边围成

的 区域（含边界）上，若=++

；

（2）在平行四边形ABCD 中，AE EB =uu u r uu r ，2CF FB =uu u r uu r ，连接CE 、DF 相交于点M ，

若AM AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ，求实数λ与μ的乘积.

- 4 - 22、（本小题满分12分） 已知函数()11,a f x nx a R x

=+

-∈． （1）若关于x 的不等式1()12

f x x ≤-在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围； （2）设函数()()f x

g x x =，若()g x 在2[1,]e 上有两个不同极值点，求a 的取值范围，并判断极值的正负．

高三数学（理）答案

13、

1

3

14、1 15、2 16、(,)

e+∞

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17、（10分）

解：（Ⅰ）

3

cos,sin

4

C C

=∴=（2分）

1

,

sin

sin

sin sin8

a c

A

A C A

=∴==（5分）

（Ⅱ）22222

3

2cos,21,2320,2

2

c a b ab C b b b b b

=+-∴=+-∴--=∴=（8分）

（10分）

18、（12分）

18.解：（1）∵

1

2

a=-，∴

1

42

a+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

当1

n=时，

1

20

a=-<，∴

11

2

S a

==；．．．．．．．．．．．．．

．．．．．．．

．．．．．．．8分

当2

n≥时，0

n

a≥，

∴

12

n n

S a a a

=-+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

()()()

()

()

22

1

2242422241

212

41242

12

n n

n

n

n

n n

+

=+-++-=+++--

-

=--=-+

-

……………………………11分又当1

n=时，上式也满足．

11

sin12

22

ABC

S ab C

∆

==⨯⨯=

- 5 -

- 6 - ∴当*n N ∈时，1242n n S n +=-+．．．．．．．．．

19、（12分）

．【解析】 (1)由题意得m·n ＝3sin A －cos A ＝1，

2sin(A －π6)＝1，sin(A －π6)＝12. 由A 为锐角得A －π6＝π6，A ＝π3

. (2)由(1)知cos A ＝12， 所以f (x )＝cos2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2(sin x －12

)2＋32. 因为x ∈R，所以sin x ∈[－1,1]， 因此，当sin x ＝12时，f (x )有最大值32，

当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3， 所以所求函数f (x )的值域是[－3，32]．

20、（12分）略

21、（12分）解（I ）解法一 ,0=++ 又)2,3()3,2()y -1x 1(y x y x --+--+-=++，

=（6-3x ，6-3y ），

∴⎩⎨⎧=-

=-,036,

036y x 解得x=2，y=2，

即.22),2,2(==

解法二 ，0=++PN PL PG 则()()()，0=-+-+- ∴()，，)22(31

=++= ∴

.22=

（2）解：3

8

22、（12分）

解：（Ⅰ）由1

()12f x x ≤-，得1

1112a nx x x +-≤-． 即21

12a x nx x ≤-+在[1,)+∞上恒成立． 设函数21

()12m x x nx x =-+，1x ≥．

则'()11m x nx x =-+-．

设()11n x nx x =-+-． 则1

'()1n x x =-+．易知当1x ≥时，'()0n x ≥．

∴()n x 在[1,)+∞上单调递增，且()(1)0n x n ≥=．

- 7 - 即'()'(1)0m x m ≥=对[1,)x ∈+∞恒成立．

∴()m x 在[1,)+∞上单调递增．

∴当[1,)x ∈+∞时，min 1()()(1)2m x m x m >==

． ∴12a ≤，即a 的取值范围是1(,]2

-∞． （Ⅱ）211()nx a g x x x x

=+=，2[1,]x e ∈． ∴22111'()nx g x x x -=+332212a x x nx a x x

---=． 设()212h x x x nx a =--，则'()2(11)11h x nx nx =-+=-． 由'()0h x =，得x e =．

当1x e ≤<时，'()0h x >；当2e x e <≤时，'()0h x <． ∴()h x 在[1,)e 上单调递增，在2

(,]e e 上单调递减．

且(1)22h a =-，()2h e e a =-，2()2h e a =-．

显然2(1)()h h e >．

结合函数图象可知，若()g x 在2[1,]e 上有两个不同的极值点， 则()0(1)0h e h >⎧⎨<⎩

． 得12

e a <<

时， 则必定212,[1,]x x e ∃∈，使得12()()0h x h x ==，且2121x e x e <<<<．

当x 变化时，()h x ，'()g x ，()g x 的变化情况如下表：

- 8 - ∴当12e a <<

时，()g x 在2[1,]e 上的极值为12(),()g x g x ，且12()()g x g x <． ∵112111

11()nx a g x x x x =+-111211x nx x a x -+=． 设()1x x nx x a ϕ=-+，其中12

e a <<，1x e ≤<． ∵'()10x nx ϕ=>，∴()x ϕ在(1,)e 上单调递增，()(1)10x a ϕϕ≥=->，当且仅当1x =时取等号．

∵11x e <<，∴1()0g x >． ∴当12e a <<时，()g x 在2

[1,]e 上的极值21()()0g x g x >>．