主讲人：闫天霞

天津市第四十七中学

高二数学 选修2-1

第二章

曲线与方程1

抛物线的简单几何性质方程y2 = 2px (p>0) yl O F x

y2 = -2px (p>0) y lF Ox

x2 = 2py (p>0) yF

x2 = -2py (p>0) yx l O F

图形

l x

O

范围

x≥0 y∈R

x≤0 y∈R

x∈R y≥0 x∈R y≤0

对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称

顶点焦半径

(0,0)p x0 2

(0,0)p x0 2

(0,0)p y0 2

(0,0)p y0 2 2

2.4抛物线的简单几何性质(1)

2.4抛物线的简单几何性质(2)

类比思考弦长计算公式： 当直线 y kx m 与抛物线相交时，设交点

为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点，我们把线段 AB叫做直线被抛物线所截得的弦.AB = ( 1 k2 ) x1 x22 其中 x1 x2 (x1 x2) 4 x1 x2

1 AB = ( 1 2 ) y1 y2 k4

例题解析例题 1 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 4 x 的焦点 F , 且与抛物线相交于 A 、B 两点,求线段 AB 的长.

解这题,你有什么方法呢?法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);法二 : 设而不求 , 运用韦达定理 , 计算弦长 ( 运算量 一般); 法三: 设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定 理,计算弦长.5

p 法 3:由题意可知，p 2, 1, 焦点F (1,0), 准线l : x 1. 2 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), A, B到准线的距离分别为 d A , dB

例题解析 例题 1 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 4 x 的焦点 F , 且与抛物线相交于 A 、B 两点,求线段 AB 的长.

由抛物线的定义可知 AF d A x1 1, BF d B x2 1 于是 AB AF BF x1 x2 2 依题意，设直线AB的方程为y x 1.代入y 2 4 x , 整理得 x 2 6 x 1 0 由韦达定理得x1 x2 6. 所以，线段AB的长是8.

焦点弦的长度 AB p x1 x 2

方程图 形 范围l

y2 = 2px

y2 = -2px (p>0) y lx

x2 = 2py (p>0) yF x

x2 = -2py (p>0) yx l

(p>0) yO F

l x

F

O

O

O

F

x≥0 y∈R

x≤0 y∈R

x∈R y≥0

x∈R y≤0关于y轴对称

对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称

顶点焦半径

(0,0)p x0 2

(0,0)p x0 2p ( x1 x2 )

(0,0)p y0 2p y1 y2

(0,0)p y0 2p ( y1 y2 )7

焦点弦 的长度

p x1 x2

例题解析例题 2 倾斜角为 的直线经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长.解本题,可尝试用的方法有: 法一:设而不求,运用韦达定理, 计算弦长;

法二: 纯几何计算,这也是一种 较好的思维.

法一

法二

p ∴直线 AB 的方程为 x y cot 2 p ( x , y ) 2 2 x y cot 由 2 消去 x 并整理得 y 2 2 py cot p 2 0 与直线 y 2 2 px 的倾

斜角 ∴ y1 y2 2 p cot , y1 y2 p2 无关 ! 2 2 2 2 AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) = (1 cot )( y1 y2 ) 很奇怪! 2p 2 2 = (1 cot ) ( y1 y2 ) 4 y1 y2 = 2 sin 9解完后回味一下,这是一个很好的解题习惯,利于提高!

p ∵焦点 F ( , 0) ,直线 AB 的倾斜角为 2

例题 2: 倾斜角为 的直线经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长. 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

( x1 , y1 )

例题 2: 倾斜角为 的直线经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长.

解 : 如图记焦点 F , 准线 l , 分别过点 M A、B 作 l 的垂线,垂足分别为 M、N. 由抛物线定义可知 FA MA , FB NB

过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 E. K 过点 B 作 x 轴的垂线,垂足为 Q N

QE

记 x 轴与准线 l 的交点为 K ,则 KF p 在△ AFE 中 EF AF cos . p ∴ FA = MA KE p FA cos ∴ FA 1 cos

p p p 2p 同理 FB ,∴ AB 1 cos 1 cos 1 cos sin 210

发现一个结论: 过抛物线 y 2 px (p 0) 的焦点的一条直线和2

抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为y1 y2 p2 .M

y1 、y2 , 则

这一结论非常奇妙,变中 K 有不变,动中有不动. N

关于过焦点弦还有一条性质,请大家思考: 思考:(课本第 70 页例 5) 过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两 点 , 通过点 A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准 线于点 D, 求证:直线 DB 平行于抛物线的对称轴. 坐标法是一种非常好 的证明,要证明几何结论： 直线DB平行于抛物线的对 称轴，只要证明点D、B的 纵坐标相等即可，而点D、 D B的纵坐标可以经计算得 到. 12

解：如图, 以抛物线的对称轴为 x轴， 它的顶点为原点建系， 设抛物线的 y 2 2 px ① 方程为： 2 y0 点A的坐标为( , y0 ), 则直线OA的 2p D 2p x ( y0 0) ② 方程为 y y0 p 抛物线的准线方程是x . ③ 2 p2 联立②③,可得 yD ④ y0 2 py0 p p 因为点F是( ,0), 所以直线AF的方程为y 2 ( x )⑤ 2 2 y0 p 2 2 2 其中y0 p . p2 联立①⑤,可得点 B的纵坐标为y B ⑥ y0 2 2 . 由④⑥可知， DB // x轴. 当y0 p 时，结论显然成立

所以，直线DB平行于抛物线的对称轴 .

关于过焦点弦的一条性质,请大家思考:例3求证: 以抛物线的焦点弦为直径的圆 与抛物线的准线相切.l

y AF M X

A1

M1

O

B1

B

课堂练习设O是坐标原点，F是抛物线y 2 2 px( p 0)的焦点，A是抛物线上的一点， FA与x轴正向的夹角为60 ,则 OA 为 ___ p 2 解：抛物线y 2 px( p 0)的焦点F ( ,0), y A 2 p l 则FA所在直线方程为y 3( x ). 2 x O F 3 两方程联立，解得 A点坐标为( p

, 3 p), 2

3 2 21 2 OA ( p) ( 3 p) p. 2 2借助几何特征解题15

课堂练习设O是坐标原点，F是抛物线y 2 2 px( p 0)的焦点，A是抛物线上的一点， FA与x轴正向的夹角为60 ,则 OA 为 ___

解法二：令FC m,因 AFC 60则AC 3m , AF 2m .

ylB

A

由抛物线定义知：

KO

F C x

AF AB KF FC p m 2m p 3 p m 故AC 3 p, OC p p. 2 2 OA AC 2 OC 2 3 2 21 2 ( 3 p) ( p) p. 2 216