1.3.1 柱体、锥体、 台体的表面积和体积

多面体的展开图和表面积在初中已经学过正方体和长方体的表面积，你知道正 方体和长方体的展开图的面积与其表面积的关系吗？

几何体表面积

展开图

平面图形面积 平面问题

空间问题

引入新课

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？

棱柱的展开图正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？a

h

正棱柱的侧面展开图

棱锥的展开图正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？

侧面展开

h'

正棱锥的侧面展开图

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棱锥的展开图正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？

侧面展开h'

正棱台的侧面展开图

h'

棱柱、棱锥、棱台的表面积

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和.

典型例题例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积 . 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成,因此只要求…... S 解：先求 SBC的面积，过点S作 SD BCa

交BC于点D. A

3 a 因为SB=a, SD SB sin 60 2

B

D

CS 所以： ABC

1 1 3 3 2 BC SD a a a 2 2 2 4

因此，四面体S-ABC 的表面积

.

圆柱的表面积r O

lO

2 r

圆柱的侧面展开图是矩形

S圆柱表面积 2 r 2 rl 2 r (r l )2

圆锥的表面积

2 r

l

r

O2

圆锥的侧面展开图是扇形

S圆锥表面积 r rl r (r l )

圆台的表面积参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么 .

r 'O’l

2 r '

2 r

r

O2 2

圆台的侧面展开图是扇环

S圆台表面积 (r r r l rl )

三者之间关系圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？这种关系是巧合还是存在必然联系？

r O

r 'O’

lO

l

l

rr’=r

O

rr’=0

O

S柱 2 r (r l )

S 锥 r (r l )

2 r 2 r l rl ) S台 (r

典型例题例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆 底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米( 取 3.14,结果精确到1 cm2 )? 20cm 解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：2 15cm 15 2 15 20 1.5 S 15 15 2 2 2 2

15cm

999 (cm2 )cm2 . 答：花盆的表面积约是999

例3 蜜蜂爬行的最短路线问题.B

易拉罐的 底面直径 为8cm,高 25cm.

A分析: 可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开, 将问题转化为平面几何的问题.

知识小结圆柱 S 2 r (r l )

r r 柱体、锥体、台体的表面积 圆台S (r 2 r 2 r l rl )

r 0展开图圆锥 S r (r l )

各面面积之和

7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、

圆锥、圆台的体积