第六章 作业 计算题

7.1 设X 1 , X 2 ,

, X n是来自总体X ~ B(1, p)的样本，求

M 和最大似然估计量p L. 参数p的矩法估计量p M X; 解： 由EX p, 得p似然函数

L( p) p (1 p)Xi i 1

n

1 X i

p i 1

Xi

n

(1 X i ) nX p (1 p)n(1 X ) (1 p ) i 1

n

ln L( p) nX ln p n(1 X )ln(1 p)令 d ln L( p) nX n(1 X ) 0 dp p 1 p

L X 得 p

7.2 设总体X的分布列为P ( X k ) p(1 p)k 1 , k 1, 2, , M 和最大似 x1 , x2 , , xn是X的样本，求参数p的矩法估计量p L. 然估计量p解：EX kp(1 p)k 1 k 1

p k (1 p)k 1

k 1

1 1 p 2 [1 (1 p)] p

得似然函数

M p

1 x ( xi 1)n

L( p) p(1 p)i 1

n

xi 1

pn (1 p) i 1

pn (1 p)n( x 1)

ln L( p) n ln p n( x 1)ln(1 p)d ln L( p) n n( x 1) 令 0 dp p 1 p1 L 得 p x

x 1 , 0 x 1 7.4 设总体X的概率密度为f ( x ) ,X 1 , , X n是取自X的样 其他 0, 本， 0是未知参数，试分别用矩法和极大似然估计法给出 的估计量.

解：EX

xf ( x ) dx x dx 0

1

1

,

EX , 1 EX

得 的矩估计量为 n i 1

X 1 Xxn ) 1xn )

1 n ( x1 x2 似然函数 L( ) x i

ln L( ) n ln ( 1)ln( x1 x2d ln L( ) n 令 ln( x1 x2 d

xn ) 0

得 的最大似然估计量为

n ln( x1 x2

xn )

n

ln xi 1

n

i

e ( x ) , x 7.5 设x1 , x2 , , xn是来自X ~ f ( x , ) x 0 和最大似然估计量 . 的样本，求参数 的矩法估计量 M L解： 由

EX

xf ( x; )dx

xe ( x )dx

xde ( x )

xe

( x )

( x )

e ( x )dx

e

1

x 1 所以 M

e ( x ) , x 7.5 设x1 , x2 , , xn是来自X ~ f ( x , ) x 0 和最大似然估计量 . 的样本，求参数 的矩法估计量 M L ( x ) 似然函数 L( ) f ( xi ; ) e ii 1 n

n

i 1

e

xii 1

n

nx n e n e e

注意到e n 是 的严格单调增加函数，而 xi , i 1, 2, 因此，为了同时得到这些样本， 必须满足： min( x1 , x2 ,从而， min( x1 , x2 ,

,n

, xn )

, xn )时，L( )达到最大值.

min( x , x , 故， L 1 2

, xn ).

7.14 设X 1 , X 2 ,

, X n是来自总体X的样本，X 和S 2分别是样本n 1 i 1

均值和样本方

差.假设 EX 和 DX 2 都未知. (1) 确定常数c,使c ( X i 1 X i )2是参数 2 的无偏估计； ( 2) 确定常数c,使X 2 cS 2是参数 2 的无偏估计.2 解：(1) 由 E ( X i 1 X i ) E ( X i 1 X i ) 2 i 1 i 1 n 1 n 1

{ D( X i 1 X i ) [ E ( X i 1 X i )]2 }i 1

n 1

( DX i 1 DX i ) 2 2 2(n 1) 2i 1 i 1

n 1

n 1

1 所以，c 2( n 1)

7.14 设X 1 , X 2 ,

, X n是来自总体X的样本，X 和S 2分别是样本n 1 i 1

均值和样本方差.假设 EX 和 DX 2 都未知. (1) 确定常数c,使c ( X i 1 X i )2是参数 2 的无偏估计； ( 2) 确定常数c,使X 2 cS 2是参数 2 的无偏估计.解：(2) 由

E( X 2 cS 2 ) EX 2 cES 2

[ DX ( EX )2 ] c 2

2 1 2 2 2 2 c c n n 1 所以，c n