第3章

差分方程模型

3.3节 3.3节 二阶线性常系数 齐次差分方程及其应用

3.3.1 二阶线性常系数 齐次差分方程二阶线性常系数齐次差分方程的一般形式为 二阶线性常系数齐次差分方程的一般形式为 线性常系数齐次差分方程 (3.3.1) xk + 2 = axk +1 + bxk , k = 0,1, 2, 为常数， 为了讨论方便， 其中 a 和 b 为常数 ， b≠0. 为了讨论方便， 还假设 是 式的解， a 2 + 4b ≠ 0 . 如果等比数列 {λ k } (λ≠0)是(3.3.1)式的解， 则 λ 必满足一元二次方程 (3.3.2) λ 2 aλ b = 0 (3.3.2)式及其根分别称为 式及其根 称为(3.3.1)式的特征方程和 特征 式及其 分别称为 式 的特征方程和 所以(3.3.2)式有两个互异的根 λ1 根. 因为 a 2 + 4b ≠ 0 ,所以 式 和 λ2 ;又因为 b≠0,所以 λ1 ≠ 0 且 λ2 ≠ 0 . ,

3.3.1 二阶线性常系数 齐次差分方程(3.3.1)式的一般解为 xk = c1λ1k + c2 λ2k , k = 0,1, 2, , 式 一般解为 为任意实数. 以后， 其中 c1 和 c2 为任意实数 给定初始值 x0 和 x1 以后，从 代数方程组 x0 = c1 + c2 x1 = c1λ1 + c2 λ2 可以唯一的确定常数 c1 和 c2 ,使数列 {xk } 是 (3.3.1)式 式

之后的唯一解 的唯一解. 在给定初始值 x0 和 x1 之后的唯一解 式有且仅有平衡点 如果 a+b≠1, (3.3.1)式有且仅有平衡点 x=0. 当 ， 则 式有且仅有 渐进稳定的 稳定的. λ1 < 1 且 λ2 < 1 时，平衡点 x=0 是渐进稳定的

3.3.2 斐波那契数列

问题 在一年之初把一对一雌一雄新生的兔子放入围 从第二个月开始， 栏，从第二个月开始，母兔每月生出一对一雌一雄的 小兔；每对新生的兔子也从它们第二个月大开始， 小兔；每对新生的兔子也从它们第二个月大开始，每 月生出一对一雌一雄的小兔. 月生出一对一雌一雄的小兔 求一年后围栏内有多少 对兔子？ 对兔子？

3.3.2 斐波那契数列令 f n 表示在第 n 月开始时围栏内的兔子 对数， 满足二阶差分方程 对数，则 f n 满足二阶差分方程 (3.3.3) f n + 2 = f n +1 + f n 以及初始条件 以及初始条件f 0 = 0, f1 = 1

解答

(3.3.4)

容易计算出： 容易计算出：f 2 =1,f 3 =2,f 4 =3,f 5 =5,f 6 =8,f 7 =13, , , , , , , , , , , , …… f8 =21,f 9 =34,f10 =55,f11 =89,f12 =144,f13 =233…… 也就是说，在第二年初， 对兔子. 也就是说，在第二年初，围栏内共有 233 对兔子

3.3.2 斐波那契数列下面求(3.3.3)式的一般解和满足 式的一般解和满足(3.3.4)式的特解 式的特解. 下面求 式的一般解和满足 式的特解 (3.3.3)式的特征方程为 λ 2 λ 1 = 0 , 其特征根 式的特征方程为 其特征根为 因此(3.3.3)式的一般解为 式的一般解为 λ1,2 = 1 ± 5 2 ,因此

(

)

1+ 5 1 5 f n = c1 2 +

c2 2 是任意常数. 其中 c1 和 c2 是任意常数

n

n

3.3.2 斐波那契数列为了满足初始条件 为了满足初始条件(3.3.4)式，必须有 初始条件 式c1 + c2 =0 1 5 1 + 5 2 c1 + 2 c2 = 1

于是(3.3.3)式满足初始条件 式满足初始条件 解得 c1,2 = ± 1 5 ,于是 式满足初始条件(3.3.4)式 式 的特解为 f = 1 1 + 5 1 1 5 . n 5 2 5 2 n n

因为 λ1 ≈ 1.618 > 1 , λ2 ≈ 0.618 < 1 , 所以 lim f n = +∞ ,n →+∞

不稳定. 平衡点 0 不稳定

3.3.3 市场经济中的蛛网模型1. 问题提出

在市场上常见这样的现象： 在市场上常见这样的现象：一段时期猪肉供过于 销售不畅致使价格下跌，生产者发现养猪赔钱， 求，销售不畅致使价格下跌，生产者发现养猪赔钱， 转而经营其它农副业；过一段时间猪肉上市量大减， 转而经营其它农副业；过一段时间猪肉上市量大减， 供不应求，价格上涨， 供不应求，价格上涨，生产者看到有利可图又重操旧 这样下一个时期又会重现供过于求，价格下跌， 业. 这样下一个时期又会重现供过于求，价格下跌， 如果没有外来干预，这种现象将如此循环下去. 如果没有外来干预，这种现象将如此循环下去

3.3.3 市场经济中的蛛网模型2. 问题分析商品在市场上的数量和价格出现反复的振荡， 商品在市场上的数量和价格出现反复的振荡，是 由消费者的需求关系和生产者的供应关系决定的. 由消费者的需求关系和生产者的供应关系决定的 一 方面，这一时期的价格取决于上市量， 方面，这一时期的价格取决于上市量，上市量越多价 格越低；另一方面， 格越低；另一方面，下一时期的上市量又取决于这一 时期的价格，价格越低上市量越少. 时期的价格，价格越低上市量越少 进一步观察还发现上市量和价格的振荡有两种 完全不同的形式，一种是振幅逐渐减小趋向平衡， 完全不同的形式，一种是振幅逐渐减小趋向平衡，另 一种是振幅越来越大，如果没有外界干预， 一种是振幅越来越大，如果没有外界干预，将导致经 济崩溃. 济崩溃

3.3.3 市场经济中的蛛网模型3.模型一(蛛网模型)把时间离散成时段， 把时间离散成时段，一个时段相当于一个生产周 记商品在 期，记商品在第 k 时段的上市量为 xk ,价格为 yk . 按 照经济规律，价格 yk 取决于上市量 xk ,记作 照经济规律，yk = f ( xk )

f 反映消费者的需求关系，称为需求函数，其函数图 反映消费者的需求关系，称为需求函数， 是一条下降曲线， 称为需求曲线 因为上市量越大， 需求曲

线， 因为上市量越大， 象是一条下降曲线， 称为需求曲线， …… 此处隐藏：2135字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……