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第4章匀速圆周运动 章匀速圆周运动第5节 圆周运动的临界问题 节

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一.水平面内圆周运动的临界问题在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω 在水平面上做圆周运动的物体，当角速度 变化时，物体有远离或向着圆心运动的 半径有变化) 趋势。 这时， ( 半径有变化 ) 趋势 。 这时 ， 要根据物体 的受力情况， 的受力情况 ， 判断物体受某个力是否存在 以及这个力存在时方向朝哪( 以及这个力存在时方向朝哪 ( 特别是一些 接触力，如静摩擦力、绳的拉力等) 接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。

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例1: 如图所示水平转盘上放有质量为 的 ： 如图所示水平转盘上放有质量为m的 物快，当物块到转轴的距离为r时 若物块始 物快，当物块到转轴的距离为 时,若物块始 终相对转盘静止， 终相对转盘静止，物块和转盘间最大静摩 擦力是正压力的µ倍 擦力是正压力的 倍，求转盘转动的最大角 速度是多大？ 速度是多大？ ω 要使物块始终静止， 解：要使物块始终静止，当物 要使物块始终静止r

块所需要的向心力等于最大静 摩擦力时， 摩擦力时，转盘角速度最大 即： µmg= mωm2r , 则 : ωm =µgR

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拓展： 点与物块连接一细线， 拓展：如o点与物块连接一细线，求当 点与物块连接一细线 ① ω 1= ② ω 2=2r 3µg 时，细线的拉力T 2 细线的拉力 2r

µ g 时，细线的拉力 细线的拉力T 1

ωr

(注：分析物体恰能做圆周运动的受力特点 注 是关键) 是关键

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解：① 由于ω 1 < ωm时仅由摩擦力可提供向心力，则细绳对物块的拉力T 提供向心力，则细绳对物块的拉力T1=0

②由于ω 2 > ωm时摩擦力不足以提供向心力， 供向心力， 则：T2 +µmg=mω22r 解得： 解得：T2 = µmg/2

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变式训练1: 变式训练 ： 如图所示， 用细绳一端系着质量为M= M=0 如图所示 ， 用细绳一端系着质量为 M=0.6kg 的物体A 静止在水平转盘上， 的物体 A 静止在水平转盘上 ， 细绳另一端通 过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m= m=0 过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg 的小球B,A的重心到O点的距离为0 m,若 B,A的重心到 的小球B,A的重心到O点的距离为0.2m,若A与 转盘间的最大静摩擦力为F N,为使小球 为使小球B 转盘间的最大静摩擦力为 Fm=2N, 为使小球 B 保持静止， 求转盘绕中心O 旋转的角速度ω 保持静止 ， 求转盘绕中心 O 旋转的角速度 的取值范围。 g=10 10m/s 的取值范围。(取g=10m/s2) Aω OB

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解 ： 当物体达到最大静摩擦力方向背向圆心 转盘角速度达到最小值，此时有： 时，转盘角速度达到最小值，此时有： Fm - mg = mωmin2r

解得: 解得:ωmin

=

5 3

3rad/s

当物体达到最大静摩擦力方向指向圆心时， 当物体达

到最大静摩擦力方向指向圆心时， 转盘角速度达到最大值，此时有： 转盘角速度达到最大值，此时有： Aω O Fm + mg = mωmax2r 解得ω 解得 max=

5 15 rad/s 35 3 3

B

则ω的取值范围为： 的取值范围为： 的取值范围为

≤ω ≤

5 15 3

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4.用一根细绳 ， 一端系住一个质量为 的 . 用一根细绳，一端系住一个质量为m的 小球，另一端悬在光滑水平桌面上方h处 小球，另一端悬在光滑水平桌面上方 处， 绳长l大于 大于h,使小球在桌面上做如图8所示 绳长 大于 ， 使小球在桌面上做如图 所示 的匀速圆周运动， 若使小球不离开桌面， 的匀速圆周运动 ， 若使小球不离开桌面 ， ( ) 其转轴的转速最大值是

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解析：转速最大时，小球对桌面刚好无压力， 解析：转速最大时，小球对桌面刚好无压力， g 2 则 F 向=mgtanθ=mlsinθω , ω= = 即 = , 其中 cosθ lcosθ h ω 1 g = l ,所以 n= = = ,故选 A. 2π 2π h

答案：A

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如图两绳系一质量为m= 的小球， 如图两绳系一质量为 =0.1kg的小球，上面绳 的小球 长L=2m,两端都拉直时与轴的夹角分别为 ° = ,两端都拉直时与轴的夹角分别为30° 与45°,问球的角速度在什么范围内，两绳始终 ° 问球的角速度在什么范围内， 张紧，当角速度为3 张紧，当角速度为 rad/s时，上、下两绳拉力 / 时 分别为多大？ 分别为多大？

30 0

450

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解析：①当角速度ω很小时，AC和BC与轴的夹角都很小， BC并不张紧。当夹角逐渐增大到30°时，BC才被拉直(这是一 个临界状态),但BC绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为ω1, 则有：TACcos30°=mg;TACsin30°=mω12Lsin30° 将已知条件代入上式解得 ω1=2.4 rad/s ②当角速度ω继续增大时TAC减小，TBC增大。设角速度达 到ω2时，TAC=0(这又是一个临界状态),则有： TBCcos45°=mg; TBCsin45°=mω22Lsin30° 将已知条件代入上式解得 ω2=3.16 rad/s 所以 当ω满足 2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s,AC、BC两 满足 / / , 、 两 绳始终张紧。 绳始终张紧。 本题所给条件ω=3 rad/s,此时两绳拉力TAC 、TBC都 存在。 TACsin30°+TBCsin45°=mω2Lsin30° TACcos30°+TBCcos45°=mg 将数据代入上面两式解得 TAC=0.27N,TBC=1.09N

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如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上， 如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上， 其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ= ° 其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为 =30°, 一条长度为L的绳 质量不计), 的绳( ),一端的位置固定在 一条长度为 的绳(质量不计),一端的位置固定在 圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物 圆锥体的顶点 处 另一端拴着一个质

量为 的小物 物体可看质点),物体以速率v绕圆锥体的轴线做 ),物体以速率 体(物体可看质点),物体以速率 绕圆锥体的轴线做 水平匀速圆周运动。 水平匀速圆周运动。 ⑴当v= =

gl 6 3gl 2

时，求绳对物体的拉力； 求绳对物体的拉力；

⑵当v= =

时，求绳对物体的拉力。 求绳对物体的拉力。Tθ

N mg

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二、竖直平面内圆周运动的临界问题对于物体在竖直面内做的圆周运动是一 种典型的变速曲线运动， 种典型的变速曲线运动，该类运动常有 临界问题，并伴有“最大”“ ”“最 临界问题，并伴有“最大”“最 ”“刚好 等词语， 刚好” 小”“刚好”等词语，常分析两种模 轻绳模型和轻杆模型。 型——轻绳模型和轻杆模型。 轻绳模型和轻杆模型

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1、轻绳作用下的竖直面的圆周运动(绳的模型) 轻绳作用下的竖直面的圆周运动(绳的模型)如图所示轻绳栓一小球, 竖直面做圆周运动。 如图所示轻绳栓一小球,在竖直面做圆周运动。求： 轻绳栓一小球 面做圆周运动 经过最高点的线速度至少需要多大? 经过最高点的线速度至少需要多大? 解：在最高点F向=G+T, 在最高点 即G+T=mv2/r T=mv2/r-mg≥0 小球经过最高点的速度： 小球经过最高点的速度：线或绳

v0≥ gr

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线或绳

当 v = gr 时，细绳对 小球没有拉力作用。 小球没有拉力作用。向心 力只由小球所受重力提供。 力只由小球所受重力提供。 如果 v gr ,轻绳对 小球存在拉力。 小球存在拉力。 如果 v gr ,小球无法 到达圆周的最高点

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如图， 水流星”表演中，绳长为1m 1m, 例：如图，在“水流星”表演中，绳长为1m, 水桶的质量为2kg, 2kg,若水桶通过最高点的速度 水桶的质量为2kg,若水桶通过最高点的速度 4m/s,求此时绳受到的拉力大小。 为4m/s,求此时绳受到的拉力大小。v r