高中数学必修4教学课件

3.1.3 二倍角的正弦、 余弦、正切公式

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问题提出

1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 分别是什么？

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2. 4 是特殊角，4 与 8 是倍半关系，利 用上述公式可以求 8 的三角函数值.如果 能推导一组反映倍半关系的三角函数公 式，将是很有实际意义的.

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探究(一):二倍角基本公式

思考1:两角和的正弦、余弦和正切公式 都是恒等式，特别地，当β =α 时，这 三个公式分别变为什么？sin2α =2sinα cosα ;.

cos2α =cos2α -sin2α ;

2 tan tan 2 2 1 tan

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思考2:上述公式称为倍角公式，分别记 作S2α ,C2α ,T2α ,利用平方关系，二倍 角的余弦公式还可作哪些变形？ cos2α =2cos2α -1=1-2sin2α 思考3:在二倍角的正弦、余弦和正切 公式中，角α 的取值范围分别如何？

思考4:如何推导sin3α ,cos3α 与α 的 三角函数关系？

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探究(二):二倍角公式的变通

思考1:1+sin2α 可化为什么？1+sin2α =(sinα +cosα )2

思考2:根据二倍角的余弦公式，sinα , cosα 与cos2α 的关系分别如何？ 1 cos 2a 2 sin a 2 1 cos 2a 2 cos a 2

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思考3:tanα 与sin2α ,cos2α 之间是 否存在某种关系？

1 cos 2a t an a 1 cos 2a2

sin 2 1 cos 2 tan 1 cos 2 sin 2

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思考4:sin2α ,cos2α 能否分别用 tanα 表示？

1 t an a cos 2a 2 1 t an a

2

2 t an a sin 2a 2 1 t an a

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理论迁移

,4 2 求 sin 4 , cos 4 , tan 4 的值. 例1 已知4 例2 在△ABC中,cos A , t an B 2, 5

5 sin 2 13

求 t an 2C 的值.

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1)(sin 2x cos 2x 1) 例3 化简 (sin 2x cos 2x sin 4x

tanx1 例4 已知 sin a cos a ,且α ∈(0, 3

π ),求cos2α 的值.

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小结作业

1.角的倍半关系是相对而言的, 2 α 是 α 的两倍, 4α 是2α 的两倍, 2 是 4 的两 倍等等，这里蕴含着换元的思想.

2.二倍角公式及其变形各有不同的特点 和作用，解题时要注意公式的灵活运用， 在求值问题中，要注意寻找已知与未知 的联结点.3.二倍角公式有许多变形，不要求都记 忆，需要时可直接推导.