BS 北师版 初三九年级数学 上册第一学期秋（教学设计 电子教案）第一章 特殊平行四边形

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第2课时 矩形的判定

1．理解并掌握矩形的判定方法；(重点)

2．能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用．(难点)

一、情景导入

小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框？看看谁的方法可行！

二、合作探究

探究点一：对角线相等的平行四边形是矩形

如图所示，外面的四边形ABCD 是矩形，对角线AC ，BD 相交于点O ，里面的四边形MPNQ 的四个顶点都在矩形ABCD 的对角线上，且AM ＝BP ＝CN ＝DQ .求证：四边形MPNQ 是矩形．

解析：要证明四边形MPNQ 是矩形，应先证明它是平行四边形，由已知可再证明其对角线相等．

证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD .

∵AM ＝BP ＝CN ＝DQ ，

∴OM ＝OP ＝ON ＝OQ .

∴四边形MPNQ 是平行四边形．

又∵OM ＋ON ＝OQ ＋OP ，

∴MN ＝PQ .

∴平行四边形MPNQ 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．

方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线的条件证明矩形．

探究点二：有三个角是直角的四边形是矩形

如图，GE ∥HF ，直线AB 与GE 交于点A ，与HF 交于点B ，AC 、BC 、BD 、AD 分别是∠EAB 、∠FBA 、∠ABH 、∠GAB 的平分线，求证：四边形ADBC 是矩形．

解析：利用已知条件，证明四边形ADBC 有三个角是直角．

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证明：∵GE ∥HF ，

∴∠GAB ＋∠ABH ＝180°.

∵AD 、BD 分别是∠GAB 、∠ABH 的平分线，

∴∠1＝12∠GAB ，∠4＝12

∠ABH ， ∴∠1＋∠4＝12(∠GAB ＋∠ABH )＝12

×180°＝90°， ∴∠ADB ＝180°－(∠1＋∠4)＝90°.

同理可得∠ACB ＝90°.

又∵∠ABH ＋∠FBA ＝180°，

∠4＝12∠ABH ，∠2＝12

∠FBA ， ∴∠2＋∠4＝12(∠ABH ＋∠FBA )＝12

×180°＝90°，即∠DBC ＝90°. ∴四边形ADBC 是矩形．

方法总结：矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系，此判定方法只要说明一个四边形有三个角是直角，则这个四边形就是矩形．

探究点三：有一个角是直角的平行四边形是矩形

如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF ＝BD .连接BF .

(1)BD 与DC 有什么数量关系？请说明理由；

(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？并说明理由．

解析：(1)根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE ＝∠DCE ，然后利用“AAS ”证明△AEF 和△DEC 全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF ＝CD ，再利用等量代换即可得BD ＝CD ；(2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD 是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB ＝90°.由等腰三角形三线合一的性质可知△ABC 满足的条件必须是AB ＝AC .

解：(1)BD ＝CD .理由如下：

∵AF ∥BC ，

∴∠AFE ＝∠DCE .

∵E 是AD 的中点，

∴AE ＝DE .

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在△AEF 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，

∴△AEF ≌△DEC (AAS)，

∴AF ＝DC .

∵AF ＝BD ，

∴BD ＝DC ；

(2)当△ABC 满足AB ＝AC 时，四边形AFBD 是矩形．理由如下：

∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，

∴四边形AFBD 是平行四边形．

∴AB ＝AC ，BD ＝DC ，

∴∠ADB ＝90°.

∴四边形AFBD 是矩形．

方法总结：本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．

三、板书设计

矩形的判定⎩⎪⎨⎪⎧对角线相等的平行四边形是矩形三个角是直角的四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）

通过探索与交流，得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题．通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法．通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力.