函数对称性及其在解题中的应用(4)

2006年第6期　　　　　　　　　　　　　　数学教学研究33

解　(1)曲线C1的方程为:

3

y=(x-t)-(x-t)+s.

值;

(2)若Sn=∑fin

(2)由定理4可知曲线C关于点A的对称曲线

)(n∈N3),求Sn的值.nOP+OP方程为y=22

-(22

-x)

3

+(22

-x),即

解　(1)∵O2

,

3

y=(x-t)-(x-t)+s,这是曲线C1的方程,故曲

∴P为P1P2的中点,

则x1+x2=1.又∵f(x)=

f(x)=1x,2+22+2

x

线C和曲线C1关于点A对称.

例7　(2001年高考题)设f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线x=1对称,对任意x1,x20,

,都有f(x1+x2)=f(x1) f(x2),且f(1)),f);

24

x

由定理7可知函数f(x)=

)中心对称,,22

x

2+2

x

=a>0.

(1)求f∴当xx2=1时,+P的纵坐标.),22

(1)

(2)证明f(x)是周期函数.

解　(1)由f(x1+x))f(x2),x1∈

0,f(1)=知函数f(x)的图像关于点(

中心对称,即f(1-x)+f(x)=1.

2

+)=f) f)=f).22222

)=2.2

∵Sn=fn

)+fn

)+…

(2)

∵f(1)=a,∴f+f)+f),nn

同理,f)=f2)=2,∴f)=4.

244

∴Sn=f)+f)+…nn

(2)因为函数y=f(x)关于直线x=1对称,由定

+fn

)+f理2知f(x)=f(2-x).

又由函数y=f(x)是偶函数,知f(-x)=f(x),所以f(-x)=f(2-x).

将上式中-x以x代换,得f(x)=f(x+2),x∈

R.

).n

(3)

由(2)+(3)得:2Sn=(n-1)+2f(1),∴Sn=

2

+f(1)=

.

2

例9　已知函数f(x)=(x-a)3+3的反函数图像关于点(3,-1)中心对称,求f(2)的值.

解　函数f(x)=(x-a)3是由一次函数t=x-a和奇函数g(t)=t复合而成的.

3

所以y=f(x)是R上的周期函数,且2是它的一个周期.

例8　设函数f(x)=

y1),P2(x2,y2),若O=

P1(x1,

22

x

x

由定理9(2)知:函数f(x)=(x-a)3的图像关于点(a,0)中心对称,即函数f(x)=(x-a)3+3的图像关于点(a,3)中心对称,所以函数f(x)=(x-a)

3

OPOP2

且点P的横坐标

为.

2

(1)求证:P点的纵坐标为定值,并求出这个定

+3的反函数图像关于点(3,a)中心对称,从而

有a=-1,即f(x)=(x+1)3+3,所以f(2)=30.