函数对称性及其在解题中的应用(2)

2006年第6期　　　　　　　　　　　　　　数学教学研究31

点P与点Q关于点A(a,b)对称,充分性得证.

推论　函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(-x)=0.

定理2　函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a

-x).(证明留给读者)

∴x0=a+y1,y0=x1-a.

代入y0=f(x0)之中得x1-a=f(a+y1),知点Q(x1,

y1)在函数x-a=f(y+a)的图像上.

同理可证:函数x-a=f(y+a)的图像上任一点关于直线x-y=a的轴对称点也在函数y=f(x)的图像上.故定理5中的(3)成立.

推论　函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称.

3　几个特殊复合函数的对称性

(c≠0)的图像关于cx+d

推论　函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(-x).

定理3　(1)若函数y=f(x)图像同时关于点

A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期;

(2)若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和

定理6　函数f(x)=

.点(,

c

c

直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期;

(3)若函数y=f(x)A(a,c)　(x)+f-a(-

c

)

对称又关于直线b(),y=f(,且ab|.

(1)(2),以下给出(3)的证明.

=+cx+d

-x)+b,

cc(--x)+dc

(c≠0)的图像关cx+d

证明　函数y=f(x)图像关于点A(a,c)成中心对称,有f(x)+f(2a-x)=2c,用2b-x代x得

f(2b-x)+f[2a-(2b-x)]=2c.

(3)

由定理1知函数f(x)=

)成中心对称.于点(-,

c

c

又函数y=f(x)图像关于直线x=b成轴对称,有f(2b-x)=f(x),代入(3)得

f(x)=2c-f[2(a-b)+x].

(33)

定理7　函数f(x)=

a-b

x

(a>0,a≠1,c≠0,b

用2(a-b)-x代x得

f[2(a-b)+x]=2c-f[4(a-b)+x],

>0)的图像关于点(logab,-

)成中心对称.2b(a>0,a≠1,c≠0,b

代入(33)得　f(x)=f[4(a-b)+x].

故y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期.

2　不同函数对称性的探究

定理8　函数f(x)=

>0)的图像关于点(logab,

a+b

x

)成中心对称.2b

定理4　

函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点A(a,b)成中心对称.

定理5　(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a成轴对称;

(2)函数y=f(x)与a-x=f(a-y)的图像关

定理8的证明留给读者,下面证明定理7.证明　函数f(x)=

>0),

a-b

x

(a>0且a≠1,c≠0,b

∵f(x)+f(2logab-x)=

a-b

x

a-b

x

+

a

2logab-x

于直线x+y=a成轴对称;

(3)函数y=f(x)与x-a=f(y+a)的图像关于

-b

2

x

x

直线x-y=a成轴对称.

定理4与定理5中的(1)(2)证明留给读者,现证定理5中的(3).

证明　点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点,其关于直线x-y=a的对称点为Q(x1,y1),则　

y0=f(x0),x1=a+y0,y1=x0-a,

b-ba

=-

,b

a-b

x

由定理1可知函数f(x)=(a>0,a≠1,c

)成中心对称,≠0,b>0)的图像关于点(logab,-2b

因为函数f(x)a-b

x

(a>0,a≠1,c≠0,b>0)的反