函数对称性及其在解题中的应用

30数学教学研究　　　　　　　　　　　　　2006年第6期

设画面高为xcm,宽为λxcm,则λx2=4840,设纸

因此S(λ1)-S(λ2)<0,所以S(λ)在区间

,内单调递增.3张面积为S,则有

S=(x+16)(λx+10)

2

λ+10)x+160.=λx+(16

从而,对于λ纸张面积最小.

将x=

代入上式,得,8<时,S取得最小值,此8

=88cm,宽为λx= 88λ8

,,则当λ=时,所用33

评注　本题取材于现实生活中的实际问题,重点考查建立函数关系式、求函数最值的技能技巧和运用所学数学知识解决实际问题的能力.建立起函数关系式以后,为求函数的最小值,不等式的知识在这里发挥了工具作用.

综上可知,,,.因此,要想在,必须高度重视不等式知识的复习和研究,既要掌握好不等式中的基本题型的

S=5000+44

当8λ8时,画面的高为x=

=55cm.

如果λS的表达式,得:

λ1<λ2,,,可设≤

334

S()-)

=44=44

1+-

82-1

2)8-

解法,更要关注不等式与其它数学知识融合在一起的综合问题与应用问题的解法,强化运用数学思想方法指导解题的意识,提高应用不等式的知识解题的能力.

(1-

.1λ>0.1λ2

由于

1λ2>,故8-38

函数对称性及其在解题中的应用

郑建雄

(浙江省绍兴县鲁迅中学　312008)

　　函数是高中数学教学的核心内容,对称性是函数图像的重要性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决.考查对称性能有效地考查学生的逻辑思维能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力,因而是高考和竞赛中命题的热点和重点.本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性等方面来探讨函数对称性及其在解题中的应用.

1　函数自身对称性的探究

证明　(必要性)设点P(x,y)是y=f(x)的图像上任一点,因点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点

Q(2a-x,2b-y)也在y=f(x)图像上,则

2b-y=f(2a-x),即y+f(2a-x)=2b.故　f(x)+f(2a-x)=2b,必要性得证.

(充分性)设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一

点,则y0=f

(x0).

∵f(x)+f(2a-x)=2b,∴f(x0)+f(2a-x0)=2b,即　2b-y0=f(2a-x0).

故点Q(2a-x0,2b-y0)也在y=f(x)图像上,而

定理1　函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b.