函数对称性及其在解题中的应用(3)

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函数为f(x)=loga+b),所以有:

x

数学教学研究　　　　　　　　　　　　　2006年第6期

f(4)=(　　).

(A)1999　(B)2000　(C)2001　(D)2002.

定理9　函数f(x)=loga+b)(a>0,a≠1,c

x

≠0,b>0)的图像关于点(-,logab)成中心对称.2b

定理10　函数f(x)=loga-b)(a>0,a≠1,

xc≠0,b>0)的图像关于点,logab)成中心对称.2b

解　y=f(x-1)和y=g-1(x-2)函数的图像关于直线y=x对称,知y=g-1(x-2)的反函数是

y=f(x-1),而y=g

-1

(x-2)的反函数是y=2+

g(x),所以f(x-1)=2+g(x),有f(5-1)=2+g(5)=2001,故f(4)=2001,应选(C).

例3　设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+

2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)=(　　).

定理11　已知一次函数f(x)=kx+b(x∈R).

(1)若y=g(x)为偶函数,则复合函数F(x)=g[f(x)]的图像关于直线x=-中心对称;k

(A)0.5　(B)-0.5　(C)1.5　(D)-1.5.

解　y=f(x)是定义在R,则点(0,

0);

(2)若y=g(x)为奇函数,则复合函数F(x)=g[f(x)]的图像关于点(-,).x+=-(x)(-,f(1+x)=

f(1-xy=f(x)的对称轴,故y=fx4的周期函数.

F=g[k(-k

x)=f(k

-)]

∴f(7.5)=f(8-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)

=-0.5,故选(B).

-x)+b]=g(-2b-kx+b)

例4　(1994年文科高考题)如果函数y=sin2x

+acos2x的图像关于直线x=-

=g(-kx-b),

又y=g(x)是偶函数,

∴g(-kx-b)=g(kx+b)=g[f(x)],故　F(-k

π

对称,求实数a的8

值.

解　令f(x)=sin2x+acos2x,

ππ

+x)=f(--x),

88

-x)=F(x).

由定理2得　f(-取x=

由定理2可知定理也成立.同理可得定理(2)成立.

4　函数对称性应用举例

ππ

),　f(0)=f(-84

例1　(第十二届希望杯高二第二试题)定义在

R上的非常数函数满足:y=f(10+x)为偶函数,且f(5-x)=f(5+x),则f(x)一定(　　).

(A)是偶函数,也是周期函数(B)是偶函数,但不是周期函数(C)是奇函数,也是周期函数(D)是奇函数,但不是周期函数.

代入f(x)得　a=-1.

例5　(1991年上海高考题)设函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称,若当x≤1时,f(x)=x2+

1,求当x>1时函数的解析式.

解　因为函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称,由定理2得f(x)=f(2-x).

设x>1,则2-x<1,∵当x≤1时,f(x)=x2+1,∴f(2-x)=(2-x)2+1.

故当x>1时,f(x)=f(2-x)=x2-4x+5.例6　(1998年理科高考题)设曲线C的方程是

y=x-x,将曲线C沿x轴

、y轴正向分别平行移动t,s单位长度后得曲线C1,

(1)写出曲线C1的方程;(2)证明曲线C与C1关于点A3

解　因y=f(10+x)为偶函数,有f(10+x)=

f(10-x),于是f(x)有两条对称轴x=5与x=10,因

此f(x)是以10为其一个周期的周期函数.而x=0即y轴也是f(x)的对称轴,因此y=f(x)还是一个偶函数.故选(A).

例2　设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数,并且y=f(x-1)和y=g

-1

(x-2)函数

的图像关于直线y=x对称,若g(5)=1999,那么2

,

2

)对称.