《线性代数》第6章习题解答(r)new2_1
时间：2026-01-18
线性代数答案全集
习题六（P251－256）
1. 已知向量空间的一个基为 1 (11
u (2
T
0)， 2 (1
T
1)， 3 (0
T
11)，试求
T
0)在上述基下的坐标。
x1
x2 ， 1 x 3
1 11
1 1 1
1 11
T
解. 设u= 1
2
3
2
1
3 = 1
0
101
0 1 1
1
2
1
1 3 -1=12 1
x1
所以 x2 = 1
x 3
2
1 -11
3 u=2 1
1 0)， 2 (2
8
T
1 1 1 2 1
0 = 1 0 1
2. 验证为 1 (1
(5
T
11
T
3)， 3 (3
12)为R的一个基，并把
T3
7)， ( 9 13)用这个基线性表示。
1213
3
1= -6 ≠0，所以α1，α2，α3为R的一个基。 2
y1
y2 y 3
5 5 2
3
解. 因为1 2 3= 1
设 = 1
2
3
x1
x2 ， = 1 x 3
213
312
2
3
由A 1
2 3
1 = 1
0 5 1 0 → 0
7 0
230
34 2
得 = 1
2
3
x1
x2 = 1 x 3
1 = 1
0
2
3
2
3 =2 1 3 2 3 ， 1 9 1
8 → 0
0 13
213
312
230
34 2
又有A 1
2 3
9
17 4
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得 = 1
2
3
y1
y2 = 1 y 3
2
3
3
3 = 3 1 3 2 2 3。 2
3. 下列n阶方阵的集合，关于矩阵的加法和数乘矩阵两种运算是否构成线性空间？
（1）n阶对称矩阵全体所成之集合S； （2）n阶可逆矩阵全体所成之集合R；
（3）主对角线上各元素之和等于零的n阶矩阵全体所成之集合T。 解.（1）S构成线性空间。因为 A，B，C∈S，λ，μ∈R ， A+B∈S， λA∈S 且满足 1°.A+B=B+A
2°（A+B）+C=A+（B+C） 3° 零元素为0，满足0+A=A 4°负元素为-A，使A+（-A）=0 5°1A=A
6°λ（μA）=（λμ）A 7°λ（A+B）=ΛA+ΛB 8°（λ+μ）A=λA+μA
（2）R不构成线性空间，因为若A∈R，但0A=O不可逆，即R关于数乘法不封闭。 （3）T构成线性空间，因为T关于加法和数乘法封闭，并且满足8°性质。 4．下列集合对指定的运算是否构成实数域上的线性空间？
（1） 设λ0是n阶方阵A的特征值，A对应于λ0的特征向量所成之集合，关于向量的加法和数乘向量两种运算；
（2） 微分方程y 3y 3y y 0的全体解所成之集合，关于函数相加和数乘函数两种运算；
（3） 微分方程y 3y 3y y 5的全体解所成之集合，关于函数相加和数乘函数两种运算；
3T3
（4） R中与向量（0，0，1）不平行的全体向量所成之集合，关于R中向量的线性运算。 解. （1）不构成线性空间，因为此集合不含零向量；
（2）构成线性空间，由齐次线性微分方程解的性质得证； （3）不构成线性空间，由非齐次线性微分方程解的性质得证；
（4）不构成线性空间，关于向量的加法和数乘向量两种运算不封闭。 5．检验以下集合对于所给的运算是否是实数域R上的线性空间。 令S={（a，b）|a，b∈R}，对于运算：
（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d+ac）， k （a，b）=（ka，kb+
k(k 1)
2
'''
''
'
'''
''
'
a）。
2
解：显然集合S对于上述两种运算是封闭的，并且加法运算显然满足交换律，结合律，零元素
2
为（0，0），对于任意元素（a，b）的负元素为（-a，-b+a），对于数乘的4条运算规律易验证也成立，所以S构成一个线性空间。
6．求实数域R上的全体2阶对称（反对称，上三角，下三角）矩阵所成的线性空间的一个基和维数。
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解.全体2阶对称矩阵的线性空间的一组基为
1
0
0 0 ， 0 0
0 0
， 1 1
1
其维数为3； 0
0 1
1
其维数为1； 0
全体2阶反对称矩阵的线性空间的一组基为
全体2阶上三角矩阵的线性空间的一组基为
1
0
0 0 ， 0 0
0 0
， 1 0
1
其维数为3； 0
全体2阶下三角矩阵的线性空间的一组基为
1 0
0 0
， 0 0
0 0
， 1 1
0
其维数为3。 0
1
7．设A= 0
0
000
0
1 ，求线性空间S（B）={B∈M3×3|AB=0}的一个基和维数。 0
0b220
0
b23 ，所以S的一个基为 0
0
解.设B=（bij）则AB=0时，B= b21
0 0 1 0
3
000
0 0 0 ， 0
00
010
0 0
0 ， 0
00
T
000
0
1 ，其维数为3。 0
T
8． 在R中，求向量α=（3，7，1）关于基α1=（1，3，5），
TT
α2=（6，3，2），α3=（3，1，0）的坐标。
解.设α= 1
3
x1 x 2 ， x 3
632
310
3 1 7 0
01
610
311
3 x1 33
72 ，所以 x2 = 82 。
x 154 154 3
3 2
2
关于这1
2
A= 1
2 3
1
= 3
5
9．在所有实对称二阶方阵所成的线性空间S2中，求 …… 此处隐藏：9585字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……
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