高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公

双基达标 限时20分钟

1．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝( )．

A．sin(2α＋β)

C．cos(2α＋β)

解析 原式＝cos[ α＋β －α]＝cos β，故选D.

答案 D

2．计算sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是( )． 3131A.2 B.2 C．－2 D．－2

1解析 原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝2，故选B.

答案 B

33．若α＋β＝4，则(1－tan α)(1－tan β)的值为( )． 13A.2 B．1 C.2 D．2

解析 (1－tan α)(1－tan β)＝1＋tan αtan β－(tan α＋tan β)①

3∵tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝tan 4－tan αtan β)＝tan αtan β－1，

∴①式＝2，故选D.

答案 D

4．已知tan α＝2，tan β＝3，α、β均为锐角，则α＋β的值是________．

tan α＋tan β2＋3解析 因为tan (α＋β)＝1，又α、β是锐角，0<α＋β<π，1－tan αtan β1－2×3

3所以由tan(α＋β)＝－1得α＋β＝4π.

3π答案 4

3 12 π 5．如果cos θ＝－13θ∈ π，2 ，则cos θ＋4 的值是________．

3 12 解析 由cos θ＝－13θ∈ π，2 知 B．sin β D．cos β

sin θ＝－1－cosθ＝－ 5 12 1－ －13 2＝－13，

ππ π∴cos θ＋4＝cos θcos 4－sin θsin 4

22 772＝2θ－sin θ)＝2 －13＝－26

2答案 －266．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β，

并用该式计算sin220°＋sin 80°·sin 40°的值．

解 sin(α＋β)sin(α－β)

＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)

＝sin2αcos2β－cos2αsin2β

＝sin2α(1－sin2β)－(1－sin2α)sin2β

＝sin2α－sin2αsin2β－sin2β＋sin2αsin2β

＝sin2α－sin2β，

∴等式成立．

于是，sin220°＋sin 80°·sin 40°

＝sin220°＋sin(60°＋20°)sin(60°－20°)

＝sin220°＋sin260°－sin220°

3＝sin260°＝4.

综合提高 限时25分钟 π347．(2012·武昌高一检测)已知0<α<2β<π，又sin α＝5cos(α＋β)＝－5，

则sin β＝( )．

242424A．0 B．0或25 C.25 D．0或－25π3443解析 ∵0<α<2β<π，sin α＝5cos(α＋β)＝－5cos α＝5，sin(α＋β)＝53

5.

24∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝250.

π24∵2<β<π，∴sin β＝25故选C.

答案 C

8．在△ABC中，若sin Asin B<cos Acos B，则△ABC一定为( )．

A．等边三角形

C．锐角三角形 B．直角三角形 D．钝角三角形

解析 由sin Asin B<cos Acos B cos Acos B－sin Asin B>0 cos(A＋B)>0 cos C<0 C是钝角，故选D.

答案 D

9．计算：sin 75°·sin 15°＝________.

解析 sin 75°sin 15°＝cos 15°cos 75°

＝cos(45°－30°)·cos(45°＋30°)

＝(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)(cos 45°cos 30°－

sin 45°sin 30°)

＝(cos 45°cos 30°)2－(sin 45°sin 30°)2

23 21 1＝ 2－ 2＝42 22 2

1答案 4 31tan A10．已知在锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝5，sin(A－B)＝5则tan B________.

31解析 ∵sin(A＋B)＝5，sin(A－B)＝5，

3sin Acos B＋cos Asin B＝ 5∴ 1sin Acos B－cos Asin B＝ 5

2sin Acos B＝ 5 1cos Asin B＝ 5

答案 2

11．(2012·清远高一检测)如图，在平面直角坐标系 tan A tan B2.

xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的 终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的 25横坐标分别为105求tan(α＋β)的值．

225解 由条件得cos α＝10cos β＝5∵α、β为锐角，∴sin α＝

sin β＝ 51－cosβ＝5721－cosα＝10 sin αsin β1由此tan α＝cos α7，tan βcos β＝2.

tan α＋tan βtan(α＋β)＝＝1－tan α·tan β17＋21＝－3.

1－7×2

π π 12．(创新拓展)已知函数f(x)＝2sin x＋6－2cos x，x∈ 2，π .

4(1)若sin x＝5，求函数f(x)的值；

(2)求函数f(x)的值域．

4 π 解 (1)∵sin x＝5x∈ 2π ，

3∴cos x＝－5

43 3 1f(x)＝2 sin x＋x －2cos x＝3sin x－cos x＝53＋5. 2 2

3 1(2)f(x)＝3sin x－cos x＝2 x－cos x 2 2

π π ＝2sin x－6 2≤x≤π， ππ5π1 π∴3≤x－662sin x－6≤1，

∴函数f(x)的值域为[1,2]．