群论

2006.12

1． 写出C4v对称性群的类、元素的阶及所有不变子群，并证明下述结论：

（1） C4v的不变子群H的不变子群K不一定是C4v的不变子群。 （2） C4v的不变子群的交集仍是C4v的不变子群。

2． 试由

0 1

1 0

和 i0

i

生成一矩阵群。证明此群为8阶群，分五类，但与C4v不同构。 0

（提示：证明该矩阵群中四阶元有6个，而C4v中只有2个）

3． 若一群的元素均为2阶，证明它可以是4阶Abel群。

4． （1）设a2=b3=(ab)2=e,由a，b生成的群为几阶群？列举两个与其同构的群的例子。

（2）若a，b乘积可对易，且a=b=e,证明a，b生成的群定是循环群。

5． 叙述同态核定理，并加以证明。

6． 若G群是2n阶的，H为G的n阶子群，则H必为G的不变子群。其商群必为二阶循

环群。

7． 若群G=H K，试证明（1）商群G/H与K同构;（2）群G的类数等于两因子群类数

之积。

8． （1）证明有限群共轭类中所含元素数目也是群阶的因子。

（2）证明置换群Sn中属于同一配分的各种可能置换元素属于同一类。 9．（1）设a,b,c为群元，试证 abc,bca,cab同阶。 （2）证明下列循环积恒等式：

2

3

ab a Xb y a X b y

10．证明在适当的基函数下，群G可约表示的形式是

D 1 A D A

X A

2

D A O

其中D

1

A 和D 2 A 分别是m阶和n阶方阵； X A 是n-m行m列的矩阵，而O

是m行n-m列的零矩阵。

（提示：采用行矢量基矢， i 0,0 ,1i,0 0 ）

1