2013年华约自主招生试题评析

2013年“华约”自主招生数学试题评析 徐小平 福建省厦门一中 361003

2013年“华约”自主招生考试于2013年3月16日进行，清华大学等七所高校联合进行“高水平大学自主选拔学业能力测试”(简称AAA测试)已是第四年.也是自主招生考试方案改革的第一年，即考试科目为2门，其一为《数学与逻辑》，这是所有考生的必考科目；其二为《物理探究》或《阅读与表达》，考生可从中任选一门。每门科目考试时间均为90分钟。由于考试形式的变化，今年的数学试题形式与往年相比发生了较大的变化，选择题没有出现，而只有七道解答题.AAA测试的命题主要体现了七所高水平大学对于人才选拔能力考查的共同要求，重点考查考生在环境和情景中综合运用知识的能力，特别是考生的创造力、想象力、鉴赏能力和学习能力等.本文就2013年“华约”联盟的自主招生数学试卷作相关评析，供广大师生参考.

题1.设A xx 10,x N,B A,且B中元素满足：①任意一个元素的各数位的数

厦门xm一yz中xx徐p@小16平3. com

考虑(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)，B解：将0,1, ,9这10个数字按照和为9进行配对，中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成

2

2

2

1

3

字互不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9；

（2）是否存在五位数，六位数？ （1）求B中的两位数和三位数的个数；

（3）若从小到大排列B中元素，求第1081个元素

评析：本题考查排列组合知识，利用构造法进行计数，并且考查了组合中存在性问题常用的抽屉原理，在知识上有一定拓展，能力要求较高.

（1）两位数有C5 2 A2 C4 2 72个；三位数有C5 2 A3 C4 2 A2 432个； （2）存在五位数，只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数；

不存在六位数，由抽屉原理易知，若存在，则至少要从一个数对中取出两个数，则该两个数字之和为9，与B中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9矛盾，因此不存在六位数

4

4

4

3

3

3

33222

（3）四位数共有C5 2 A4 C4 2 A3 1728个，因此第1081个元素是四位数，且是第

33

577个四位数，我们考虑千位，千位分别为1,2,3的四位数共有3 C4 23 A3 576个，因

此第1081个元素是4012

1

sinx siny 3

题2.已知 ，求cos(x y),sin(x y)

1 cosx cosy

5

评析：三角恒等变换是“华约”自主招生数学考试的常客，在近几年的考试中均有所考查，

本题考查了和差化积公式和万能公式的应用，由于新课程对此不作要求，很多学校在课堂教学中并没有介绍这两个公式，但这两个公式特别是和差化积公式在近年的自主招生试题中频繁应用，值得引起老师同学们的重视.本题是这次考试中较易的一道试题.

解：由sinx siny

11208①，cosx cosy ②，平方相加得cos(x y) ， 35225

另一方面由①得2sin(

x yx y1x yx y1 ③，由②得2sin() ④ 223225

x y

x y153 ，因此sin(x y) ④除以③得tan

2517

1 tan2

2

2

点B在y kx上，其中k 0,OA OB k 1且A,B在y轴题3.点A在y kx上，

2tan

厦xmyzx徐小16平 om

解：（1）设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)，则y1 kx1,y2 kx2,由OA OB k 1

2

同侧，（1）求AB中点M的轨迹C；（2）曲线C与抛物线x 2py(p 0)相切，求证：切点分别在两条定直线上，并求切线方程

评析：解析几何问题也是“华约”自主招生考试中的常考热点问题，本题考查解析几何中轨迹的求法、定点定值问题以及利用导数求抛物线的切线问题，属于常规题，试题难度贴近高考，是较易的一道试题.

2

(x1 x2)2(x1 x2)2x x2y y2x x2

1，又x 1得x1x2 1，即，于是 k1,y 1

44222y22

M的轨迹方程为x 2 1，于是AB中点M的轨迹C是焦点为

(0)，实轴长为2

k

的双曲线

2

2

y2222

（2）将x 2py(p 0)与x 2 1联立得y 2pky k 0，曲线C与抛物线相切，

k

2422

故△=4pk 4k 0，又因为p,k 0，所以pk

1，且y pk k,x

因此两切点分别在定直线x

x

Dk),E(k)，∵y'

x，

p

于是在Dk

)处的切线方程分别为y

1x

k,即y x ,

ppp

在E(

k)处的切线方程分别为y

1

(x

k,即y x ,

ppp

题4.7个红球，8个黑球，一次取出4个；（1）求恰有一个红球的概率；（2）取出黑球的个数为X，求X的分布列和EX；（3）取出4个球同色，求全为黑色的概率

评析：概率问题在“华约”自主招生考试中出现的频率也较高，以往的考试中常与递推数列相结合难度较大，本次考试则是常规的古典概型和超几何分布的问题，方法较易，有一定的运算量，考查了学生的运算能力，若熟悉超几何分布期望公式则第二步，无需繁杂计算便可利用公式直接得出期望为EX 4

832

.

1515

13C7C856

解：（1）恰有一个红球的概率为； 4

195C15

（2）X的所有可能取值为0,1,2,3,4，

314

C7C8C7540

P(X 0) 4 ,P(X 1) , 4

C15195C15195

2134C72C8C7C8C8845610

P(X 2) PX PX (4)(3),,, 444

C15C15C15195195195

即X的分别列为

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所以EX 0

54084561032

1 2 3 4

19519519519519515

4C82

（3）取出4个球同色，全为 …… 此处隐藏：3159字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……