第八编 立体几何§8.1 空间几何体的结构及其三

视图和直观图基础知识要点梳理1.多面体的结构特征

自主学习

(1)棱柱的上下底面 平行 ，侧棱都平行且长度相等 ，上底面和下底面是 全等 的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个 公 共点 的三角形.

(3)棱台可由平行于棱锥底面 的平面截棱锥得

到，其上下底面的两个多边形相似.2.旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕其一边所在直线 旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在 直线 旋转得到. (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等 腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由 平行于圆锥底面 的平面截圆锥得到.

(4)球可以由半圆或圆绕其 直径 旋转得到.

3.空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用 正投影 得到,这种投 影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平 面图形的形状和大小是完全相同的,三视图包括 正视图 、 侧视图、 俯视图 .

4.空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用 斜二测 画法，基 本步骤是： (1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴 相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x′ 轴、y′轴,两轴相交于点O′,且使∠x′O′y′ =45°(或135°) .

(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观 图中平行于 x′轴、y′轴 . (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中长 度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来 的一半 . (4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面， 在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平 面,已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中 仍平行于z′轴且长度 不变 .

5.中心投影与平行投影 (1)平行投影的投影线 互相平行 ，而中心投影的 投影线 相交于一点 . (2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画 出的直观图都是在 平行 投影下画出来的图形.

基础自测1.一个棱柱是正四棱柱的条件是( C ) A.底面是正方形，有两个侧面是矩形 B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C.底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两

两垂直D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱 解析 根据正四棱柱的结构特征加以判断.

2.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆，则这个几何体一定是( C ) A.圆柱 B.圆锥 C.球体

D.圆柱、圆锥、球体的组合体解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截 面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面 都是圆面.

3.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥

的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( C )A.30° C.60° 解析 r l 1 2

B.45° D.90° 设母线为l,底面半径为r,则π l=2π r.,

∴母线与高的

夹角为30°.∴圆锥的顶

角为60°.

4.三视图如下图的几何体是

(B )

A.三棱锥C.四棱台 解析

B.四棱锥D.三棱台

由三视图知该几何体为一四棱锥，其中

有一侧棱垂直于底面,底面为一直角梯形.故选B.

5.等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB= 2 ,下底AB=3,以下底所在直线为x轴，则由斜二测画 法画出的直观图A′B′C′D′的面积为 解析2 2

.

OE

( 2 ) 1 1, O E 2

1 2

,E'F

2 4

, 2 4 2 2 .

直观图 A B C D 的面积为 S

1 2

(1 3 )

题型分类题型一

深度剖析

几何体的结构、几何体的定义

【例1】 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；

②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体；

④棱台的相对侧棱延长后必交于一点.其中真命题的序号是 .思维启迪 利用有关几何体的概念判断所给命题 的真假.

解析

命题①符合平行六面体的定义,故命题①是

正确的,底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底 面不垂直,故命题②是错误的,因直四棱柱的底面 不一定是平行四边形,故命题③是错误的,命题④ 由棱台的定义知是正确的.

答案

①④

探究提高 解决该类题目需准确理解几何体的定 义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通

过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可.

知能迁移1

下列结论正确的是(

)

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余 两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线 都是母线 解析 A错误.如图所示，由两个结构

相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形，但它不一定是棱锥.

B错误.如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角 边，所得的几何体都不是圆锥. C错误.若六棱锥的所有棱长都相等， 则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正

六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.D正确.

答案 D

题型二

几何体的直观图

【例2】 一个平面四边形的斜二测画法的直观图 是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于( A.2 4 a2

) B. 2 2 a 2 C. 2 a 22

D. 2 2 a 23

思维启迪 按照直观图的画法，建立适当的坐 标系将正方形A′B′C′D′还原，并利用平面

几何的知识求出相应的线段、角，求解时要注

意线段和角的变化规律.

解析

根据斜二测画法画平面图形的直观图的规

则可知,在x轴上(或与x轴平行)的线段,其

长度保持 不变;在y轴上(或与y轴平行)的线段,其长度变为原 来的一半,且∠x′O′y′=45°(或135°),所以, 若设原平面图形的面积为S,则其直观图的面积为S 1 2 2 2 S 2 4 S . 可以得出一个平面图形的面积S

与它的直观图的面积S′之间的关系是S′=

2 4

S,

本题中直观图的面积为a2,所以原平面四边形的面积 S a2

2 2a .2

答案 B

2 4