湖北省武汉市2014届高三2月调研测试 数学理试题(6)

（Ⅱ）由（Ⅰ），知f(x)≥f(lnt＋1)，即ex1－tx≥－tlnt．

－－

取t＝1，ex1－x≥0，即x≤ex1．

当x＞0时，lnx≤x－1，当且仅当x＝1时，等号成立， 故当x＞0且x≠1时，有lnx＜x－1．

－

令x＝，得ln＜－1（0＜a＜b），即ln＜

b

abbaaaabb－a

．

aa

ba－bbb－a

，亦即ln＞

令x＝，得ln＜－1（0＜a＜b），即－ln综上，得

a

b－abb－a

＜ln9分 b－abb－a

ln＜． k＋111

ln ＋1（Ⅲ）由（Ⅱ），得

令a＝k，b＝k＋1（k∈N*），得对于ln

k＋11

，分别取k＝1，2， ，n， kk

将上述n个不等式依次相加，得

n＋12311

lnln1＋＋ ＋ 12211

∴ln(1＋n)＜1＋ ＋ ①

2对于

k＋11

＜ln，分别取k＝1，2， ，n－1， ＋1将上述n－1个不等式依次相加，得

11123n111＋ ＋＜lnln＋ ＋ln，即＋ ＋＜lnn（n≥2）， 23n12n－123n11

∴1＋1＋lnn（n∈N*）． ②

211

综合①②，得ln(1＋n)＜1＋≤1＋lnn．

2易知，当p＜q时，[p]≤[q]，

11

∴[ln(1＋n)]≤[1＋]≤[1＋lnn]（n∈N*）．

2又∵[1＋lnn]＝1＋[lnn]，

11

∴[ln(1＋n)]≤[1＋]≤1＋[lnn]（n∈N*）． 14分

2