函数全微分存在的充分必要条件
时间：2025-03-16
函数全微分存在的充分必要条件
第 1卷 1第 9期 91年69 月9喀什师范学学院 (报自然科学版 )U c JU N ARLO F AHGA RS O K T AEH ERSC COLL GEE(t S ) Na d..
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Jn.‘ u1 U,函数全分存在微的充分必条要件三元摘要
生害
0z/ f/ 7、f 0 7土垫:卜 _塑，宝彳1 I. /2 LL—通过定给出理了三元函效全擞分存在的充分必要条件，对定给理予证了明.决三了并解
函元数全微存分在充的性问，要题证明先中引引入，理在可即散件条下li 尘 土等论出再理 明其结，出定理 证及 给定及其证 .明结论等， .
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关|调 .
竺竺璺存±续镦！盏j亭生可涟 二元
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关于元多函数在一点的微可问题性，一般科教只书给出全了微存分在的充分条件即在一，偏阶导都在存且连续条的件下必微可.文献[]中给出了元函数全二分微存在的个充一分必 1要条件.文将给三元出函数全微分存在—的充分个必条件要.本 首先 ,通过们面下引理给出三元函全微数存分在—的个要必件条 . 我理若引 f x,,)’oX, o)( Y z P在( oY南可微处，以各式成下立：则 l i, m + (
垒盟÷丝业土一: x, oo￣,) z y( )1:<(li m 0
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( A + (,<( )山血 证明为因f (,, )P(。,。处微可，x Y 。在。,#) 故_
f(+o△+ Yx,。一,+△# )一 f( oY x z() 4
,,…,。 ) (Y0,△+, , o而 )( Y,4+, y, )#+0 0,P( 0 Y,△ ( )
其中 P=√ ()+ ( + (△。△ )(注：以下若有特没声殊明，的义均意与此相同)o P的 P,( )
意义文[见]即 2(由 ()4式有 .一。 )
稿收期日：99 0—. 1 9—42 5
函数全微分存在的充分必要条件
l第期符世斌，元函数全徽分存在的分必要充条件三,+ (r,△+ Y
=,。+一 f( o△) r+ +x,t)
f+(△r,+ y△△+ f(o) Y。,一 (△+ry +y 4 )一 f (yo, ) x。 , z一x,o ) ,o0, ,x o] 。, Y, ) o△r,,+ y”, ),, , o: ) o +( (Y,△zo+口 ) (一
=[ (,¨ z ), oY。△+,r,,函 ) (Y, 4y+ o p ( D]
,=岛， ) (Y,oz+△ D ( )一 o p P) 1 (,其中 n√=所以
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(:文中义意相同 )注下
若 (.r +(≤ ( )),一 0时当，△ )。 则有一 0P 0l .,l
故所以I …o2= ≤I -I I1 -￣I ≤ l … l f一a i^‘Ir 1I I I ()5
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故) 3(成式立同，可理证 ( 2式)成立 .(1 )由理引，我们得可出三元数函fx y全微分存在的分充必条要件.(,, )定理点在 (P,。 ),, )于 , 0连续， … )于连且续南 y南处，,oy关 ,),y关 f x y z可微的分充必条件是要函数 f,x,)以下足五条件个： (,, ) y(满 1,, ,,存。在} ) ( z )
j2 ro当使) ,√>一X )+( o。—y)<, r 0,,,及，o o存都；在 时， ) yy, z) )3引理的 (中 ) ( ) 32式成立 I4)对系式关 f (+ z=,+
,+ )一，(+ o
,+ 4) y, ’( 6
,:) (0+ r△ +4y z ) + ,,口， 0
有l。口= o及 i a r‘^l 1 J J “ o{
5对)关式系(,+△,+△ )一，(+△ Yd,0 , z,= ),+△ r ), ( ,4y卢+ (,) 4y 7 l有 i ar一。
=卢o及
卢=
o .
明必证要 .性若f( ,, P (,o )) x Y 在 o y而嘞可处微，条件 1则)然满自，足引由理又， 条件 3满足.因为，,), Y‘在— Y=oY处连，续 ,,在=南处连续，条， o,, )故件2也满 .足证条件4成 .立 )现)’ 41
函数全微分存在的充分必要条件
喀师什学院范学报 (自然科学版 ) 第 91卷因为 fx, )在 P ( (Y ( xf+一
处)微可，前面的( )成式，立 4且,故Y+0 4 .)~ f ( Y, ) 0 x ,,,上， () 0 0r△+,。 Y ),y+ 0n ) 0 (, o a ( .
( 8)
利用 ()8 4 ()两式可得, (o+△T,,+2 y . Y 260+△g.一 f()x0+纽， 0+ A,y ) Y 0一,( - t-~
,+ A +Y y,
)一 ( of,o x, z )[ h A/+.。 A )一 (f。, ), Y-+, y, x ] , Y[。 )2,+oA -,, dA ) y+ op ) ( ]一
,( :…) Y △fc+, Y。,。 4+, z,o 2 ) (9,)y (。y, o 0+ 0△) (一；
一
(,, ) 0 Y0△ +( 0 )一。( 】 P )P
所，关系式( )示表为6可，= ,, )+‘ ( ) o一p )(。 。。P ( , 工+ (’,。+ Az )+q y,o& .i
即有一
,:z (,
-j:+ (
,.+ , )+z一
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若P≤zl此f时，用，0,,在 o…(Y)连续的有性 ,,B利 Z)Y 处1,+-z i Y m(, -+0 2 A) l=,:+岛△ Y k, y,c i ar ( ,+04 y)一，;如…‰) 1), (Y, ( 0一0一 0
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由再 () ( 5o 1)两式，有以1口=0所 i .m<I f 若> f由 l( )& 9式得筹=x￣,)z, +)一，[ (oy。:,z~+(, o]+ 由仍然有于 l
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此时， P￣ 01于由l当 t,￣
p<, &以一 O P一 0并
且 l I( )- op Io l又所，, i p - O(— m o 1( 1
( o式成立， 1故有 l a)一 0这样们我证就了明条件 4i , m)也满足. F面证条明 5件也成立 . )在 ()令中 8L式 ly一 0再利 (用)可则得 8式，f(。△ Y+r凸 )一 f(△。r Y, )z+ ,, z+ 0, 一J o x (
+.+ ,) f x~ Z)~ F x+。‰ ),一， ( z ) (。 oY (fo Y,。 Y。]=
,,‰o,。) ( Y,△。+ r,,,0 )y o+ p) ([Y 0 ),+ △ D )扛 0, a Y (一，,】x o△ , (]f ,Y) ( 4 y 0 J+)一 D△,】(。 )
一(所关以系式 )( 7可示为表,岛 ,0 A ( Y )+yo p )一 Ao (1 r( )=, z+△ Ir ) ( 0Y, y4+卢 ,y y0 A
即有4, 2
一卢， ,, ( )一，(。 +,, +)
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