大学数学6.2.2 定积分的换元法和分部积分法

大学数学6.2.2 定积分的换元法和分部积分法

第六章

第2.2节 定积分的换元法 和分部积分法不定积分 换元积分法 分部积分法

定积分

换元积分法 分部积分法

一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法2013-6-3 1

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一、定积分的换元法定理1 设函数 2) 在[ , ] 上 单值函数

满足:

1) (t ) C1[ , ] , ( ) a , ( ) b ;

则证明: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 ,

且它们的原函数也存在 .则 是 的原函数 , 因此有

F (b) F (a) F [ ( )] F [ ( )]2013-6-3 2

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说明:1) 当 < , 即区间换为[ , ] 时， 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .

3) 换元公式也可反过来使用 , 即

f ( x) d x (令 x (t ) )a

b

或配元配元不换限2013-6-3 3

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例1 计算 解: 令

则dx a cos t d t ,且

当 x 0 时, t 0 ; x a 时, t . 22 a 2 02 cos t d t ∴ 原式 =

y

y a2 x2S

a2 2 (1 cos 2 t ) d t 2 0 a 1 ( t sin 2t ) 2 2 2 02013-6-3

o

2

a x

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例2 解: 令

计算

当 x 0 时,故原式 =

t 2 1 则 x , dx t d t , 且 2 x 4 时,

t 2 1 3 2 2 t dt 1 t

2013-6-3

1 3 2 (t 3) d t 2 1 3 1 1 3 ( t 3t ) 2 3 1

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例3 计算

0

sin x sin xdx.3 53 2

f ( x) sin 3 x sin 5 x cos x sin x 解:

0

sin 3 x sin 5 xdx cos x sin x dx0

3 2

2 cos x sin x dx ( cos x) sin x dx3 2 02

3 2

2 sin x d sin x sin x d sin x05 2 2 sin x 2 2 sin x 2 5 0 52013-6-3

3 2

3 2

2 5

4 . 56

2

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例4 (1) 若 (2) 若

偶倍奇零

则 0

a

a

f ( x ) dx 2 f ( x ) dx0

a

则 a

a

a

f ( x ) dx 0a 0

证明:

a

a

f ( x ) dx a 0 a 0

f ( x ) dx f ( x ) dxa 0

f ( t ) d t f ( x) dx [ f ( x ) f ( x ) ] dx

令 x t

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f ( x) f ( x)时 f ( x) f ( x)时7

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二、定积分的分部积分法定理2 设 u ( x) , v( x) C1[a , b] , 则 b

a证明: [u ( x) v( x)] u ( x)v( x) u ( x)v ( x)

两端在 [a, b] 上积分 b b b u ( x) v( x) u ( x)v( x) dx u ( x)v ( x) dx a a a b b u ( x)v( x) u ( x) v( x) dx a a2013-6-3 8

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例 7 计算 x cos xdx . 答案为: 2 0

π

例 8 计算 1e

e2

1 3 3 4 x | ln x |dx . 答案为: 2 e 2 4e 4

1 例 9 计算 arctan xdx . 答案为: ln 2 0 4 21

例 10 计算 e x dx . 答案为: 20

1

例 11 设 f (5) 2 , f ( x)dx 3 计算 xf ( x)dx .0 0

5

5

答案为: 72013-6-3 9

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内容小结基本积分法换元积分法 分部积分法 换元必换

限 配元不换限 边积边代限

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