第二章 随机变量及其分布

第二章章末归纳总结

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自主预习学案

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典例探究学案

自主预习学案

1.“互斥事件”与“相互独立事件”的区别 “互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事 件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影 响. 2.对独立重复试验要准确理解

(1)独立重复试验的条件第一：每次试验是在同样条件下进行.第二：任何一次试 验中某事件发生的概率相等.第三，每次试验都只有两种结 果，即事件要么发生，要么不发生.

(2)独立重复试验概率公式的特点k n-k 关于 Pn(k)=Ck p (1 - p ) ,它是 n 次独立重复试验中某事 n

件 A 恰好发生 k 次的概率.其中 n 是重复试验次数，p 是一次 试验中某事件 A 发生的概率，k 是在 n 次独立试验中事件 A 恰 好发生的次数，弄清公式中 n、p、k 的意义，才能正确运用公 式.

3.(1)准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题 中事件之间的关系要清楚. (2)认真审题，找准关键字句，提高解题能力.如“至少有 一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”等. (3)常见事件的表示.已知两个事件 A、B,则 A、B 中至少 有一个发生为 A∪B;都发生为 A· B;都不发生为 A · B ;恰有一 个发生为 ( A · B) ∪ (A· B ) ;至多有一个发生为 ( A · B )∪( A · B)∪ (A· B ).

4.(1)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E(ξ)的值可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值.它 们都由ξ的分布列唯一确定. (2)D(ξ) 表示随机变量 ξ对 E(ξ) 的平均偏离程度 . D(ξ) 越大表 明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之D(ξ)越小， ξ 的取值越集中. (3)D( aξ + b) = a2D(ξ) ,在记忆和使用此结论时，请注意 D(aξ+b)≠aD(ξ)+b,D(aξ+b)≠aD(ξ).

5.对于正态分布，要特别注意N(μ,σ2)由μ和σ唯一确定，解决正态分布问题要牢记其概率密度曲线的对称轴为x=μ. 6.对于条件概率，一定要区分P(AB)与P(B|A).

1.一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F 为 6 个开关， 1 其闭合的概率都是2,且是相互独立的，则灯亮的概率是( )

1 A.64 1 C.8

55 B.64 1 D.16

[答案] B

[解析] 由题意知，四条线路是否闭合相互独立，A、B 线 1 1 路与 E、 F 线路闭合的概率相等， 都是 P(AB)=P(A)· P(B)=2×2 1 =4, 12 12 9 ∴四条线路都不闭合的概率为 P1=(1-4) · (1-2) =64, ∴ 9 55 灯亮的概率为 P=1-64=64.

1 2.某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是2,构造数 列{an},使得 1 第n次抛掷时出现正面 , an= -1 第n次抛掷时出现反面 ,

记 Sn=a1

+a2+ +an(n∈N*)

,则 S4=2 的概率为( 1 A.16 1 B.8 1 C.4

) 1 D.2

[答案] C[解析] S4=2 的含义是 4 次抛掷中出现 3 次正面，∴所求 概率 1 3 1 31 P=C4· ( ) ·= . 2 2 4

3 . (2015·郑州市高二期末 ) 设 X ~ N(500,602) , P(X≤440) =

0.16,则P(X≥560)=(A.0.16 C.0.84 [答案] A

)B.0.32 D.0.64

[解析] ∵μ=500,σ2=602,即σ=60. 根据正态分布的对称性P(X≥μ+σ)=P(X≤μ-σ) ∴P(X≥560)=P(X≥500+60)=P(X≤500-60) =P(X≤440)=0.16.

故选A.

4.(2014·哈师大附中高二期中)设离散型随机变量ξ可能取的值为 1、 2 、 3 、4 , P(ξ = k) = ak + b(k = 1 、 2 、 3 、 4) , E(ξ) = 16,则5a+b=( A.6 C.8 [答案] B ) B.7 D.9

[ 解析 ]

由条件得 (a + b) + (2a + b) + (3a + b) + (4a + b) =

10a+4b=1, (a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)+4(4a+b)=30a+10b=16, ∴15a+5b=8, 27 13 ∴a=10,b=- 2 ,∴5a+b=7.