概率论与数理统计及其应用浙江大学 盛骤 第二版

第三节 协方差与相关系数 第四节 随机变量另几个数字特征主要内容(1.5学时)一、协方差 (重点) 二、相关系数(重点) 三、不相关与独立的关系(重点) 四、随机变量的另几个数字特征

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一、协方差(重点)1、引入背景二维随机变量( X,Y )的相互关系如何描述？n 维变量间的关系

举例：(1)不同地区气温间的关系；(2)人的身高、体重间的关系；

(3)不同股票收益率间的关系；(4)公司经营业绩与资本结构间的关系。

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2、协方差的定义 (X, Y)为二维随机变量，则称下式为X、Y的协方差

Cov( X , Y ) E{[ X E( X )][Y E(Y )]}说明：⑴ 协方差为X,Y离差[ X-E(X)] 与[Y-E(Y) ] 乘积的数学期望(2) Cov(X,Y)>0,正相关；Cov(X,Y)<0, 负相关。=0,不相关

(3) 当X,Y相同时，Cov(X, X) = D(X)=Var(X).

(4) 离散型 : COV ( X , Y ) [xi E ( X )][y j E (Y )] pij连续型 : COV ( X , Y )

i

j

[x E ( X )][y E (Y )] f ( x, y )dxdy

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3、协方差的主要性质⑴ Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y) (最常用计算方法)

(2) 对称性： Cov(X, Y)= Cov(Y, X)(3) Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y) a,b是常数

(4) Cov(X1+X2, Y)= Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y)

(5) D(X±Y)= D(X)+D(Y) ± 2Cov(X, Y)

推广:

D( X i ) D( X i ) 2 Cov ( X i , X j )i 1 i 1 i j

n

n

(6) 若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 . 不相关

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证: (1) Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) (3) Cov(aX, bY) =E{[aX-E(aX)][bY-E(bY) ]}

=E{ab [X-E(X)][Y-E(Y) ]} = ab cov(X, Y)(4) Cov(X1+X2, Y)=E{[X1+X2 -E(X1+X2)][Y-E(Y) ]} =E{[X1 -E(X1)][Y-E(Y) ]}+E{[ X2-E(X2)] [Y-E(Y) ]}} =Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y)

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(5) D(X Y ) E[( X Y ) E ( X Y )]2 E[( X E ( X )) (Y E (Y ))]2 E[ X E ( X )]2 E[Y E (Y )]2 2 E[( X E ( X ))(Y E (Y ))]

D( X ) D(Y ) 2COV ( X , Y )(6) X与Y独立 E(XY) =E(X)E(Y) Cov(X,Y)= 0 .

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例1(类似P87-例1) 已知随机变量(X , Y )的联合概率密度为 0<x y 0.5, 0<x , y 1 8 3 f ( x, y) 求:(1)X , Y的概率密度; 其它 0 (2)求X , Y 均值,方差; (3) 求COV ( X , Y ), XY , D( X Y ).

解:(1)求X , Y的边际概率密度f X ( x ), fY ( y ).

0 x 0.5时, 0.5 x 1时,

f X ( x) fX

( x ) f ( x , y )dy

f ( x , y )dy

8 0 3 x

x

dy 8 x 3 dy 4 3

8 x 0.5 3

x 8 3 4 f X ( x) 3 0

0 x 0.5 0.5 x 1 其它

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0 y 0.5时, 0.5 y 1时,

fY ( y ) fY ( y )

f ( x , y )dx

1

y 0.5 y

8 3

dy 4 3

f ( x, y )dx

8 y 3

dy 8 (1 y ) 3

4 3 8 fY ( y ) 3 (1 y ) 0

0 y 0.5 0.5 y 1 其它

(2) E ( X )

E (Y )

xf X ( x )dx

0.5

0 4 3

8 3

x dx 2 8 0.5 3 1

4 0.5 3

1

xdx

11 18

yfY ( y )dy

0.5

0

ydy

7 y(1 y )dy 18

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E( X ) 2

x f X ( x )dx 2

0

0.5

0 4 3

8 3

x dx 3 2 1

4 0.5 3

1

31 x dx 722

E (Y ) 2

y fY ( y )dy 2

0.5

y dy

8 0.5 3

y 2 (1 y )dy 15 72

31 11 2 D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2 72 ( 18 )

37 648

7 2 D(Y ) E (Y 2 ) [ E (Y )]2 15 ( 18 ) 72

37 648

E ( XY )

xyf ( x, y )dxdy1 0.5

0.5

0

8 0 3

x

xydydx

8 x 0.5 3

x

xydydx

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0.5

0

4 3

x dx 3

4 0.5 3

1

1 7 1 41 x( x 1 ) dx 48 18 8 144 441 144

Cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )

* 11 18 7 18

61 1296

XY

D( X ) D(Y )

Cov ( X , Y )

61 1296

*

648 37

61 74

D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2Cov( X , Y )37 37 61 648 648 2* 1296 135 648

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二、相关系数(重点)1、相关系数的定义D( X ), D(Y )分别为随机变量X , Y的方差, 且D( X ), D(Y ) 0. 则称 Cov ( X , Y ) D( X ) D(Y )

XY

为X 与Y的(线性)相关系数.

说明：

(1) XY 为X , Y的标准化变量

X E( X ) D( X )

与

Y E (Y ) D(Y )

间的协方差.

(2) 相关系数 无量纲，消除了量纲不同对相关程度的影响(3) 与Cov(X,Y)同号。 >0, 正相关； <0, 负相关； =0,不相关

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2、相关系数的性质

(1) XY 1. (2) XY 1 存在实数a, b( 0), 使P{Y a bX } 1结论：

1) XY 1, Y 与X 存在严格线性关系. 2) XY 0, Y 与X 不存在线性 …… 此处隐藏：2259字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……