2004年7月自学考试复变函数与积分变换试题

全国2004年7月高等教育自学考试

复变函数与积分变换试题

课程代码：02199

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填

在题干的括号内。每小题2分，共30分)

1.已知方程(1+2i)z=4+3i，则z为( )。

A. 2+i

C. 2-i

B. -2+i D. -2-i B. 椭圆 D. 抛物线 2.方程Re(z+2)=1所代表的曲线是( )。 A. 直线 C. 双曲线

3.复数z=-(cos

A. (cos

C. (cos +isin)的三角形式是( )。 332 2 +isin) 33 B. (cosD. (cos +isin) 33 +isin) 332 2 +isin) 33

4.设z=cos(π+5i)，则Rez等于( )。 e 5 e5

A. 2

e 5 e5

C. 2 e 5 e5B. 2D. 0

5.设函数f(z)=u+iv在点z0处可导的充要条件是( )。

A. u,v在点z0处有偏导数

6.复数e3-2i所对应的点( )。

A. 第一象限

C. 第三象限 B. 第二象限 D. 第四象限

z z0 B. u,v在点z0处可微 D. u,v在点z0处可微，且满足C-R条件 C. u,v在点z0处满足C-R条件 7.设函数f(z)和g(z)均在点z0处解析，且f(z0)=g(z0)=0,g (z0)≠0，则lim

A. 0

f (z0)

[g (z0)]2f(z)等于( )。 g(z) B. f (z0) g (z0)C. D. 不存在

8.设C：｜z+3｜=1的正向，则dz等于( )。 cz i

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A. 1

in B. 0 D. 12πi C. 2πi 9.级数= e

n 1 是( )。

B. 发散 A. 收敛 C. 绝对收敛 D. 条件收敛

cosz10.设C：｜z｜=1的正向，则dz=( )。 czA. 2πi

C. πi

nzn B. 0 D. 1 11.设幂级数 a

n 0 的收敛半径R>0，则它( )。

R上绝对收敛 2A. 在｜z｜≤R上收敛

B. 在｜z｜>C. 在｜z｜<R上绝对收敛

12.罗朗级数D. 在｜z｜≤R上绝对收敛 2

n 0 |n|(z 1)n的收敛域为( )。

A. ｜z-1｜<2

1C. <｜z-1｜<2 2

13.z=1是函数f(z)=

A. 解析点 1ze 1 B. 2<|z-1|<+∞ 1D. <｜z-1｜<+∞ 2的( )。 B. 本性奇点

C. 可去奇点 D. 极点

sinz14.设f(z)=，则Res［f(z),0］=( )。 z

A. -2πi

C. 0 B. 2πi D. 1

15.2+i关于圆周｜z-i｜=3的对称点是( )。 99A. +i B. -i 22

C. 9 2 D. 9i 2

二、填空题(每小题2分，共10分)

16.复变函数f(z)=Imz在复平面上可导的点集为______.

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17.设c为|z|=2正向圆周，则

18.函数f(z)=1

1 z2zezc2dz=______. 关于z的幂级数展开式为______.

19.设C为单位圆周｜z｜=1内包围原点的任一条正向简单闭曲线，则(c zn 2 n)dz=______.

20.将点z=-1,0,1依次映射为ω=-1,-i,1的分式线性映射为______.

三、计算题（每小题5分，共40分）

5 21.设复数z满足arg(z+2)=，arg(z-2)=,试求z. 36

z22.设f(z)=+2ezcosz， 21 z

(1)求f(z)解析区域；(2)求f (z).

23.已知u(x,y)=x2-y2,求v(x,y)使f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在复平面解析.

24.计算积分z z的值，其中C为｜z｜=1正向圆周. c|z|

25.计算积分i

26.求积分 z 1dz0. zcez2 a2,其中c:｜z｜=b正向，且b>｜a｜.

ez

27.在z=0邻域将函数f(z)=展为泰勒级数，并求收敛半径. 1 z

128.将函数f(z)=在圆环1<｜z｜<2内展开成罗朗级数. (z 1)(z 2)

四、综合题（下列3个小题中，29题必做，30、31题中只选一题，需考《积分变换》者做

31题，其他考生做30题，两题都做者按31题给分。每小题10分，共20分）

29.利用留数定理计算积分I=2 0sin2 (a>b>0). a bcos

30.设Z平面上的区域为D：Im(z)>1,|z|<2；试求下列保角映射:

(1)ω1=f1(z)把D映射成W1平面上区域D1：0<argω1<; 3

(2)ω=f2(ω1)把D1映射成W平面上上半平面G：Im(ω)>0;

(3)ω=f(z)把D映射成G.

31.积分变换

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(1)已知(1)=cht ,试利用傅氏变换的性质，求下列函数的傅氏变换. ch2

①1 ch3t ②1 ch(t 2)

y y 6y 2(2)利用拉氏变换解常微分方程初值问题 y(0) 1,y(0) 0

（附：(sinat)=a, p2

a2(cosat)=p, p2

a2(eat)=1） p a

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