19．（1）由tan cot

1012

或3t an ，又得3tan 10tan 3 0，即tan

33

3 1

，所以tan 为所求. 43

1-cos 1+cos

4sin 11 85sin2 8sincos 11cos2 85（2

）

2

= .

6

PQR，

sin(45 )sin135

20．如下图，扇形AOB的内接矩形是MNPQ，连OP，则OP=R，设∠AOP=θ，则

∠QOP=45°－θ，NP=Rsinθ,在△PQO中，

∴PQ=2Rsin(45°－θ).

S矩形MNPQ=QP·NP=2R2sinθsin(45°－θ)=≤

222R·［cos(2θ－45°)－］ 22

2 122 12

R，当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°时，S矩形MNPQ的值最大且最大值为R. 22

工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB，以扇形一半径OA为一边，在扇形上作角AOP且使∠AOP=22.5°，P为边与扇形弧的交点，自P作PN⊥OA于N，PQ∥OA交OB于Q，并作OM⊥OA

于M，则矩形MNPQ为面积最大的矩形，面积最大值为

2 12

R. 2

21．（1）f(2) f(2) f(1)sin (1 sin )f(0) sin ，

011

f() f() f()sina (1 sina)f(0) sin2a， 422

1 231f() f() f(1)sin (1 sin )f() 2sin sin2 ， 422

3 1

131

f() f() f()sin (1 sin )f() 3sin2 2sin3 ， 2244

sin (3 2sin )sin2 , sin 0或sin 1或sin

,因此,f() (0,), ，

,f() .

5（2）g(x) sin(6 2x) sin(2x 6),

,k ](k Z) g(x)的增区间为[k . 36

（3） n N，an

1

， 2n

1

0

)

111f(n 1) f(an 1)(n N)， 222

n 11

所以f(an) f(n) f(22