结构动力学问题的有限元法

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结构动力学问题的有限元法 1 2 3 概述 结构动态特性分析 有限元方法简介

第6章 工程振动中的数值方法

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1

概

述

数值分析技术为结构的动态分析提供了有力 的保障，为工程结构在各种复杂的动力学环境下 的模拟和仿真提供了有效工具。

工程结构的动态分析主要包括两个方面：结构的动态特性分析和结构动态响应分析。第6章 工程振动中的数值方法

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2 结构动态特性分析2.1 特征值问题的性质

结构无阻尼自由振动方程

M K x 0 x将简谐运动 代入上式可得 或写成

(1) (2) (3) (4)

x sin( t )( K 2 M ) 0

K M

其中， 2; K,M分别为结构的刚度矩阵和质量矩阵。 第6章 工程振动中的数值方法

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特征系统的一些基本特性。 (1)如果K和M都对称，且至少有一个矩阵正

定，则特征值一定是实数，而特征向量也可以是

实向量。如果M正定，并且K为正定或半正定，则所有特征值都是正的实数。

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(2) 特征向量(或模态向量)关于质量矩阵M和刚

度矩阵K正交，即： mii { i } M { j } 0T

(i j ) (i j ) (i j ) (i j )

(5)

kii { i } K { j } 0T

(6)

在式 K M 中将特征向量归一化，即：

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{ i }

1 mii

{ i }

(7)

上式称为归一化特征向量。 则式(5),(6)有 1 { i } M { j } 0T

(i j ) (i j )

(8) (9)

i { i } K { j } 0T

(i j ) (i j )

第6章 工程振动中的数值方法

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(3) Rayleigh商和特征值的极大极小性质

定义：

x T K x R ( x ) T x M x

(10)

由式(8)和(9)可以看出，当{x}为系统的某阶 特征向量时，则有 T { i } K { i } R({ i }) i (11) { i }M { i }

对于任意{x}有得到第i阶特征值

min R( x ) max

T x K x i max min T x M x

(12)

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(4) 特征值的移轴性质

式(4)两边分别减去

M ,则有另一等价形式：(14) (15)

( K M ){ } ( )M

或写为

K

M K K M

式中

式(4)和式(15)有相同的特征向量，但特征值相 差μ,即：

(16)

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(5) 特征值的分隔性质

作移轴 K K M ,并将 K 作 LT DL 三角分解。 如果有 i i 1 则对角矩阵D中有i个负元素。

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(6) 位移展开定理

对于n维空间中的任意向量{x}都可以按模态

矩阵Φ展开：

x Φ q 1 q1 2 q2 n qn系数q可按下式确定：qi i M x T

(17)

(i 1, , n)

(18)

以上讨论的是广义特征值问题的一些基本特性， 深入理解这些性质，对于求解特征值问题很有帮助。第6章 工程振动中的数值方法

北京林业大学 2.2 迭代法

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向量迭代法又称幂法，它既可用于标准特征值问 题，也可用于广义特征值问题。它不仅适合于对称矩 阵，也适合于非对称矩阵。

任意选取适当的初始向量{x1},按迭代格式

K{xk 1} M{xk }

(k 1,2, ) (19)

则向量序列{x1}{x2}将收敛于相应的特征向量。第6章 工程振动中的数值方法

北京林业大学对任意向量

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{x1} i { i }i 1

n

(20)1

则：

M {x1} i M { i } i (i 1 i 1 1

n

n

i

) K { i }n

(21)1 ){ i } (22)

按迭代格式式(19)有n

{x2 } K M{x1} i (i 1

i

则：

1 k { x k 1 } i ( ) { i } ( ) i ( ) { i } i 1 i 1 i i 11k

1

n

k

(23)

由于当k增大时， {xk+1}可能会变得很大或很小，因此， 在迭代过程中，需要将迭代向量规一化 { x k 1 } { x k 1 } (24) 1

({ x k 1 }T M { x k 1 }) 2第6章 工程振动中的数值方法

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迭代法的迭代过程是自校正的。迭代向量中

的误差只能延迟收敛，而不会破坏收敛性。 根据特征值的移轴性质可以构造带移轴的向量

迭代方法。只要选取合适的移轴量，就可以既使迭 代收敛到所需要的特征对，又可以加快收敛速度。

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北京林业大学 2.3 变换法

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1. 广义特征值问题化为标准特征值问题在广义特征值问题中，质量矩阵M是对称正定，则一定存 在非奇异矩阵

所以

K SS T

(25) (26) (27) (28)

在上式中，前乘S -1,并令 则有 可得到标准特征值问题

S T

S 1 KS T

K

式中 K S 1 KS T第6章 工程振动中的数值方法

Rk

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