第十三章2：层次分析法及模糊综合评价

第十三章2 层次分析及模糊综合评价13.1 层次分析模型深入分析 13.2 模糊综合评价

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13.1 层次分析模型深入分析

层次分析法的基本步骤1)建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标— 准则或指标—方案或对象),上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。

2)构造成对比较阵用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。

3)计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。

4)计算组合权向量(作组合一致性检验*)组合权向量可作为决策的定量依据。

二. 层次分析法的广泛应用 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配， 人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题， 产业结构，教育，医疗，环境，军事等。

处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。 建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决 策层参与。 构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判 断力强的专家给出。

例1 国家 实力分析

国家综合实力

国民 收入

军事 力量

科技 水平

社会 稳定

对外 贸易

美、俄、中、日、德等大国

例2 工作选择贡 献 收 入

工作选择

发 展

声 誉

关 系

位 置

供选择的岗位

例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择节 省 时 间 C1

过河的效益 A经济效益 B1 当 地 商 业 C4 建 筑 就 业 C5 社会效益 B2 安 全 可 靠 C6 交 往 沟 通 C7 环境效益 B3 舒 适 C9 进 出 方 便 C10

收 岸 入 间 C2 商 业 C3

自 豪 感 C8

美 化 C11

桥梁 D1

隧道 D2

渡船 D3

(1)过河效益层次结构

例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择投 入 资 金 C1

过河的代价 A 经济代价 B1 社会代价 B2 环境代价 B3

操 作 维 护 C2

冲 击 渡 船 业 C3

冲 击 生 活 方 式 C4

交 通 拥 挤 C5

居 民 搬 迁 C6

汽 车 排 放 物 C7

对 水 的 污 染 C8

对 生 态 的 破 坏 C9

桥梁 D1

隧道 D2

渡船 D2

(2)过河代价层次结构

例4 科技成果 的综合评价效益C1

科技成果评价

水平C2

规模C3

直接 经济

间接 经济 效益 C12

社会 效益

学识

学术 创新

技术 水平

技术 创新

效益C11

水平C21

C13

C22

C23

C24

待评价的科技成果

三. 层次分析法的若干问题 正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量 是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接 近一致阵的程度？

怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？ 为什么用特征向量作为权向量？ 当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用 层次分析法？

1. 正互反阵的最大特征根和特征向量

的性质 定理1 正矩阵A 的最大特征根 是正单根，对应A e e A eT k k k

正特征向量w,且 lim

w,

e (1,1, ,1)

T

正互反阵的最大特征根是正数， 特征向量是正向量。 定理2 n阶正互反阵A的最大特征根 n , nn 1

= n是A为一致阵的充要条件。一致性指标CI

定义合理

2. 正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算 精确计算的复杂和不必要 简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量， 一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取 其某种意义下的平均。 和法——取列向量的算术平均 1 例 A 1/ 2 1 / 6 2 1 1/ 4 6 4 1 列向量 归一化

0 . 6 0 . 615 0 . 545 算术 0 . 587 平均 0 . 324 w 0 . 3 0 . 308 0 . 364 0 .089 0 . 1 0 . 077 0 . 091 1 1 . 769 0 . 974 0 . 268 ( ) 3 . 009 3 0 . 587 0 . 324 0 . 089

1 .769 Aw 0 .974 0 .286

Aw w

精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010

简化 计算

根法——取列向量的几何平均幂法——迭代算法

1)任取初始向量w(0), k:=0,设置精度

~ 2) 计算 w ( k 1 ) Aw ( k )3)归一化 w( k 1 )

~ ( k 1 ) / ~ ( k 1 ) w wii 1

n

4)若 max w i i

( k 1 )

wi

(k )

,停止；

否则，k:=k+1, 转2 5) 计算 1 n

i 1

n

~ ( k 1 ) wi wi(k )

3. 特征向量作为权向量——成对比较的多步累积效应问题 一致阵A, 权向量w=(w1,…wn)T, aij=wi/wj

A不一致, 应选权向量w使wi/wj与 aij相差 尽量小(对所有i,j)。用拟合方法确定ww i ( i 1 , , n )

min

i 1n n

n

wi a ij j 1 wj n

2

非线性 最小二乘2

线性化—— 对数最小二乘

w i ( i 1 , , n )

min

i 1

wi ln a ij ln j 1 wj

结果与根法相同

多步累积效应成对比较2 (2)

按不同准则确定的权向量不 同，特征向量有什么优点。Ci:Cj (直接比较) aij ~ 1步强度n (2)

A ( a ij ) a ij a is a sjs 1

aij(2) ~ 2步强度 更能反映Ci对Cj 的强度 体现多步累积效应(k ) (k )

aisasj~ Ci通过Cs 与Cj的比较A ( a ij ),k (k )

a ij ~ k 步强度(k )

i , j , k 0 , k k 0 , a is a js 或 a is a js( s 1, n )(k ) (k )

当k足够大, Ak第i行元素反映Ci的权重

求Ak的行和

定理1 lim k

A e e A eT k

k

w

特征向量体现多步累积效应

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