专题四 数列、推理与证明

第 1讲

等差数列和等比数列主干知识梳理

热点分类突破真题与押题

1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热 点，经常以小题形式出现.考 2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是 情 解 高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的 读

综合能力.

主干知识梳理

1.an与Sn的关系Sn=a1+a2+ +an, S1, n= 1, a n= Sn- Sn- 1,n≥ 2.

2.等差数列和等比数列 等差数列定义 an-an-1=常数(n≥2)

等比数列an =常数(n≥2) an-1

通项公式

an=a1+(n-1)d

an=a1qn-1(q≠0)

(1)定义法判 定 (2)中项公式法：2an+1=an+

(1)定义法

(n≥1)(an≠0) {an} 为 等 比 数 (3)通项公式法：an=pn+q(p、 方 列 q为常数) {an}为等差数列 法 (3)通项公式法： (4)前 n项和公式法： Sn=An2 (1) an = c· qn(c 、 q 均是不为 0 的常 + Bn(A 、 B 为常数 ) {an} 为 数，n∈N*) {an}为等比数列 等差数列

an+2(n≥1) {an}为等差数列

an+1=an· (2)中项公式法： an+2

2

判定方法

(5){an} 为 等 比 数 列 ， (4){an}为等差数列 { a n }为a

(2)

an>0 {logaan}为等差数列 等比数列(a>0且a≠1) (1)若 m、 n 、 p、 q∈N*,且 (1)若 m、 n 、 p、 q∈N*,且

m + n = p + q ,则 am + an = m + n = p + q , 则 am· an =ap· aq 性质 ap+aq (2)an=am+(n-m)d (2)an=amqn-m (3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m, (3)等比数列依次每n项和 ,仍成等差数列 (Sn≠0)仍成等比数列

前n

n a1+an Sn= 2

a1 1-qn (1)q≠1,Sn= 1- q a1-anq = 1- q (2)q=1,Sn=na1

项和 =na +n n-1 d 1 2

热点 分类突破 热点一 热点二 等差数列 等比数列

热点三

等差数列、等比数列的综合应用

热点一

等差数列

例1 A.21 C.28 解析

(1) 等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 + a4 + B.24 D.7利用 a 1 + a 7 = 2 a 4 建立 S 7

a6=12,则S7的值是( C ) 思维启迪和已知条件的联系；

由题意可知，a2+a6=2a4,

则3a4=12,a4=4, 7× a1+a7 所以 S7= =7a4=28. 2

(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若-1<a3<1,0<a6<3,思维启迪 ( - 3,21) 则S9的取值范围是________. 将a3,a6的范围整体代入.

解析 S9=9a1+36d=3(a1+2d)+6(a1+5d)又-1<a3<1,0<a6<3, ∴-3<3(a1+2d)<3,0<6(a1+5d)<18,

故-3<S9<21.

(1) 等差数列问题的基本思想是求解 a1 和 d ,可利 用方程思想； (2)等差数列的性质思 ①若 m,n ,p , q∈N* ,且 m+n = p + q ,则 a + m 维 升 an=ap+aq; 华

②Sm,S2m-Sm,S3m-S2m, ,仍成等差数列；

am-an ③am-an=(m-n)d d= (m,n∈N*); m- n an A2n-1 ④ = (A2n-1,B2n-1分别为{an},{bn}的前 bn B2n-1思 2n-1项的和)

. 维 升 (3) 等差数列前 n 项和的问题可以利用函数的性质 华

或者转化为等差数列的项，利用性质解决.

变式训练1 (1)已知等差数列{an},满足a3=1,a8=6,则此数列的

35 前10项的和S10=________.

解析 因为a1+a10=a3+a8=7, a1+a10 ×10 a3+a8 ×10 7×10 所以 S10= = = =35. 2 2 2

(2) 在等差数列 {an} 中， a5<0 , a6>0 且 a6>|a5| , Sn 是 数列的前n项的和，则下列说法正确的是( )

A.S1,S2,S3均小于0,S4,S5,S6 均大于0B.S1,S2, S5均小于0,S6,S7, 均大于0

C.S1,S2, S9均小于0,S10,S11 均大于0D.S1,S2, S11均小于0,S12,S13 均大于0

解析 由题意可知a6+a5>0, a1+a10 ×10 a5+a6 ×10 故 S10= = >0, 2 2 a1+a9 ×9 2a5×9 而 S9= = =9a5<0,故选 C. 2 2

答案 C