数学建模之雨中行走设计论文

数学建模之雨中行走

摘要： 一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋

的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑是不是最好的

策略？试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。

关键词： 淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的

速度。

问题重述

要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学

模型是否跑的越快，淋雨量越少。

模型假设及符号说明

（一）模型假设：

1风速始终保持不变

2降雨速度和强度保持不变

3跑步的全程速度保持不变

（二）符号说明

（1）将人体转化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，

厚c=0.2m。

（2）跑步距离d=1000m，跑步最大速度Vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨

量w=2cm/h

（3）雨速为常数且方向不变

（4）记跑步速度为v。

模型建立与求解

（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程

的总淋雨量。

解：全身面积s=2ab+2ac+bc=2.2m²,

淋雨时间t=d/Vm=200s

降雨量w=2cm/n=10-4/18m/s

∴总淋雨量Q=stw︽2.44L

（2）假设雨从迎面吹来，雨线雨跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为

θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,a,θ之间的关系，问速

度v多大，总淋雨量最少。计算θ=0, θ=30°的总淋雨量。

解：顶部淋雨量Q1=bcdw cosθ/v

雨速水平分量usinθ。方向与v相反

和速度为u sinθ+v

迎面单位时间、单位面积的淋雨量w（u sinθ+v）

淋雨量Q2=abdw(u sinθ+v)/uv

bdwcucos a(usin v) . uv

当v=vm时Q最小。 =0时Q 1.15L

=30 °时Q

1.55L 所求总淋雨量Q=Q1+Q2=

(3)雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，期望与人体的夹

角为a，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w, 之间的关

系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算 =30°是的总淋雨量。

解：（3）与（2）不同的是，和速度为|usin -v|,于是总淋雨量

若c cos -asin <0,即tan >c/a,则v=usin 时Q最小，否则v=vm时Q最

小

当 =30。时，tan >0.2/1.5 v=2m/s Q≈0.24升最小，可与v=vm，Q≈0.93

升相比

（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对(3)作图考虑的影响，并解释

结果实际意义。

解：雨从背面吹来，只要 不太小，满足tan >c/a(a=1.5m,c=0.2m时， >7.6.)

即可，v=usin ，Q 最小此时人体背部不淋雨，只有顶部淋雨。

（5）若雨方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。

再用一个角度表示雨的方向，应计算侧面的淋雨量，问题本质没用变化。

答：即雨滴不是单从人的前面或后面的，而是从侧面或是其他的方向以一

定的角度落下。

模型评价

通过对以上模型的分析我们可以知道，在雨中行走时并非跑得越快，淋得雨

水就越少，要使身上淋的雨水最少，除了要考虑降雨的角度外，还要考虑降雨的

速度，既是根据降雨角度和降雨速度来选择自己在雨中的行走速度，具体做法如

下：

（1） 如果雨是迎着前进的方向落下，应该以最大的速度跑完全程。

（2） 如果雨是从背后落下，这时应该控制在雨中的速度，让它刚好等于

落雨速度的水平分量。

参考文献

书名：数学建模 作者：沈继红等编著 出版地：哈尔滨

出版社：哈尔滨工程大学出版社 出版年：1998