第5讲 分析法与综合法应用策略

[方法精要] 综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明结论成立，这种证明方法叫做综合法．

分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种正面的方法叫做分析法．

综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程．但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不宜推导时，常考虑用分析法．注意用分析法证题时，一定要严格按格式书写．

题型一 综合法在三角函数中的应用

xxx例1 已知函数f(x)＝2sin3sin2＋3. 444(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；

π(2)令g(x)＝f(x＋)，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由． 3

破题切入点 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，用Q表示所要证明的结论，则综合法的应用可以表示为：P Q1→Q1 Q2→Q2 Q3→ →Qn Q.本题是将三角函数式化为同一个角的三角函数，再利用三角函数的周期性和单调性及奇偶性解决．

xx解 (1)∵f(x)＝sin3(1－2sin2) 24

xx＝sin 3cos 22

xπ＝2sin()． 23

2π∴f(x)的最小正周期T＝＝4π. 12

xπ当sin(＝－1时，f(x)取得最小值－2； 23

xπ当sin(＝1时，f(x)取得最大值2. 23

xπ(2)由(1)知f(x)＝)． 23

π又g(x)＝f(x＋． 3

1ππ∴g(x)＝x＋233

xπx＝2sin()＝2cos . 222

xx∴g(－x)＝2cos(－)＝2cos g(x)． 22

∴函数g(x)是偶函数．

题型二 综合法在立体几何中的应用

例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平

面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：

(1)PA⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面PAD；

(3)平面BEF⊥平面PCD.

破题切入点 综合法的运用，从已知条件、已有的定义、公理、定理等经过层层推理，最后得到所要证明的结论．

(1)利用平面PAD⊥底面ABCD的性质，得线面垂直．

(2)BE∥AD易证．

(3)EF是△CPD的中位线．

证明 (1)因为平面PAD⊥底面ABCD，

且PA垂直于这两个平面的交线AD，

所以PA⊥底面ABCD.

(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以四边形ABED为平行四边形．

所以BE∥AD.

又因为BE 平面PAD，AD 平面PAD，

所以BE∥平面PAD.

(3)因为AB⊥AD，

而且ABED为平行四边形．

所以BE⊥CD，AD⊥CD，

由(1)知PA⊥底面ABCD.

所以PA⊥CD.

所以CD⊥平面PAD.

所以CD⊥PD

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