抛物线的定义和标准方程

１、 要把抛物线上的点Ｍ的集合P={M| |MF|=d}表示为集合Ｑ＝{(x,y)|f(x,y)=0}。首先要建立坐标系，为了使推导出的方程尽量简化，应如何选择坐标系？ ［建立适当的直角坐标系应遵循两点：

①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴； ②曲线上的特殊点，可选作坐标系的原点。］

过焦点F作准线l 的垂线交l 于点K，启发学生思考回答问题： （1）如何确定x轴（或y轴）？ （以对称轴为坐标轴）

由抛物线的定义和KF是抛物线的对称轴。 （2）如何确定坐标原点？

（曲线上的特殊点，可作为坐标系的原点）

因为线段KF的中点适合条件——到点F的距离等于到直线l 的距离，所以它又在抛物线上——以线段KF的中点为坐标原点。 （3）怎样建立坐标系才使方程的推导简化？

取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l 相交于点K，以线段ＫＦ的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系。

２、开口向右的抛物线标准方程：（教师引导得出结论） ——将几何问题用代数方法表示

抛物线的定义和标准方程

(p 为焦参数) 那么，焦点F的坐标为(p / 2,0) 准线 l 的方程为 x = p / 2. 设抛物线上的任一点 M (x,y),点M到直线 l 的 距离为 d 根据定义，抛物线就是集合 ①动点M到定点F的距离 |MF| P={M| |MF|=d} ②动点M到定直线 l 的距离 d ③平面内到一定点和到一条 不过此点的定直线的距离| MF| = d ①根据两点间的距离公式： 动 点M(x,y)与定点F(p/2, 0)的距离|MF|= √(x2-x1)2+(y2-y1)2; ②点M(x,y)到直线 l: x + = | x + p p/2=0 的距离 d 怎样表示是一 3 用点 M 的坐标表示这 个条件，得出方程 f (x,y)=0 两边平方，化简得2 4、把方程 f (x,y)=0 y = 2px (p>0) 化简

2 写出曲线上的点 M 所 要适合的条件

因为 d = | x + p / 2 | 所以

/ 2 |

个难点 难点。利用点 P(x0,y0)到直 难点 线 Ax+By+C=0 的距离公式： 或者：点P(x0,y0)到垂直于 x 轴的直线 x = x0 的距离为 d = | x - x0 | 即抛物线的标准方程 (1)

(如果选取坐标系使得抛物 线的顶点在原点， 对称轴和一 个坐标轴重合， 这样推导出来 的抛物线方程称为标准方程 标准方程) 标准方程 方程(1)的推导过程表明， 因为方程化简的每一步都同 抛物

线上的点的坐标都是这 解，最后一步证明可以省略 5、 证明化简后的方程 个方程式的解。 还可以证明， 就是所求的曲线方程 以方程(1)的解为坐标的 点都在此抛物线上。

抛物线的定义和标准方程

３、标准方程y = 2px (p>0)的特点：（用代数方法——几何问题）

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p的几何意义：焦点到准线的距离 焦 点：（p/2 ,0）在x轴的正半轴上 准 线：x = - p/2

顶 点：坐标原点（０，０） 开口方向：向右 ４、巩固练习：

根据抛物线的标准方程，说出抛物线的焦点坐标和准线方程： y=8x y=6x y=2/5x y=3.2x

（三）一条抛物线，由于它在坐标平面上的位置不同，方程也有不同。

１、可由开口向右的抛物线得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程（也可由图象的对称性得到）；

也可由抛物线的四种标准方程中的任一种形式推导得出抛物线的其他三种标准方程。（图３－２－１）

２、对这四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比分析，辨认异同。（图３－２－２）

从方程、焦点、准线、图形四个方面，给出其中的任一项，给出此种抛物线的其它几项的值，进而分析开口向右、向左、向上、向下的抛物线的标准方程及图象的异同点。

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